MATEMANIJA

Pozdrav svima...
Zadatak glasi:
Polinom [inlmath]f(x)[/inlmath] treceg stepena čiji je slobodni član jednak nuli, zadovoljava jednakost:
[dispmath]f(x)-f(x-1)=x^2[/dispmath] Odrediti polinom [inlmath]f(x)[/inlmath] i pokazati da je [inlmath]f(n)[/inlmath] jednak zbiru kvadrata prvih [inlmath]n[/inlmath] prirodnih brojeva.
Resenje:
Neka je [inlmath]f(x)=ax^3+bx^2+cx[/inlmath] traženi polinom. Na osnovu pretpostavke, imamo jednakost:
[dispmath]ax^3+bx^2+cx-a(x-1)^3-b(x-1)^2-c(x-1)=x^2[/dispmath] Iz ovog identiteta sledi [inlmath]3a=1[/inlmath], [inlmath]-3a+2b=0[/inlmath], [inlmath]a-b+c=0[/inlmath]
Odavde nalazimo da je:
[dispmath]a=\frac{1}{3},\quad b=\frac{1}{2},\quad c=\frac{1}{6}[/dispmath] Dakle, traženi polinom:
[dispmath]f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{6}=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}[/dispmath] Ako u dati identitet zamenimo [inlmath]x[/inlmath] redom sa prvih [inlmath]n[/inlmath] prirodnih brojeva, imamo:
[dispmath]f(1)-f(0)=1^2\\
f(2)-f(1)=2^2\\
f(3)-f(2)=3^2\\
\vdots\\
f(n)-f(n-1)=n^2[/dispmath] Sumiranjem nalazimo da je
[dispmath]f(n)=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/dispmath]

Sličan način dokazivanja da je pomenuti polinom jednak sumi kvadrata prirodnih brojeva imali smo ovde, a tvrdnju je takođe moguće pokazati i indukcijom:

Baza indukcije:
[dispmath]f(1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=1=1^2[/dispmath] Indukcijska pretpostavka:
[dispmath]f(k)=1^2+2^2+\cdots+k^2[/dispmath] Indukcijski korak:
[dispmath]f(k)-f(k-1)=k^2\quad\Longrightarrow\quad f(k+1)-f(k)=(k+1)^2\quad\Longrightarrow\\
\Longrightarrow\quad f(k+1)=f(k)+(k+1)^2\quad\Longrightarrow\quad\enclose{box}{f(k+1)=1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2}[/dispmath]