MATEMANIJA

Za koje vrijednosti od [inlmath]n[/inlmath] je polinom [inlmath]1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n-2}[/inlmath] djeljiv polinomom [inlmath]1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}[/inlmath]?

Rjesenje kaze koristiti identitete [inlmath]1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n-2}=\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}[/inlmath] i [inlmath]1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=\frac{x^{n-1}-1}{x-1}[/inlmath], kako se dobijaju uopste ovi identiteti? Ja bih jedino mogao napamet da ih naucim i da znam samo ova dva slucaja, a to bas nije prihvatljivo rjesenje posto sigurno postoji neki sablon ili nesto kako se to dobija. A kako i na kraju krajeva da dodjem do rjesenja koje kaze da su djeljivi za svako neparno [inlmath]n[/inlmath]??

[dispmath]{\large\frac{\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}}{\frac{x^n-1}{x-1}}}=\frac{x^n+1}{x+1}[/dispmath] Da li je sada jasnije zašto [inlmath]n[/inlmath] mora biti neparan broj?
Ako si radio geometrijske nizove ne bi trebao da bude problem da nađeš ove dve sume.

wolf11 je napisao:Rjesenje kaze koristiti identitete [inlmath]1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n-2}=\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}[/inlmath] i [inlmath]1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=\frac{x^{\color{red}n-1}-1}{x-1}[/inlmath], kako se dobijaju uopste ovi identiteti?

Umesto ovog crvenog [inlmath]n-1[/inlmath] treba da piše samo [inlmath]n[/inlmath]. Znači, [inlmath]1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=\frac{x^n-1}{x-1}[/inlmath].
A ti identiteti su dobijeni, kao što bobanex reče, korišćenjem formule za sumu geometrijskog niza, [inlmath]S=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}[/inlmath].

Verovatno je pogrešno prepisao, ja sam to korigovao ali nisam naglasio.

Prepisao sam ja ovo dobro, ali je onda vjerovatno greska u zbirci. Hvala na objasnjenju, jasno je sad, svakako cu morati malo da ponovim te geometrijske nizove.