MATEMANIJA

Dat je polinom [inlmath]P(x)=x^{2n}-2x^na^n\cos\theta+a^{2n}[/inlmath]. Rastaviti taj polinom na proizvod dva polinoma [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena.
Nemam ideju kako poceti zadatak. Lici na kvadrat razlike, ali ne znam sta s kosinusom. Jedino sto bi se mozda moglo iskoristiti je [inlmath]e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta[/inlmath].

Resenje je [inlmath]\left(x^n-a^ne^{i\theta}\right)\left(x^n-a^ne^{-i\theta}\right)[/inlmath].

Iskoristis pravilo da je [inlmath]\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}[/inlmath]

Onda imas
[dispmath]x^{2n}-2x^na^n\cos\theta+a^{2n}[/dispmath][dispmath]x^{2n}-2x^na^n\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}+a^{2n}[/dispmath][dispmath]x^{2n}-x^na^n\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)+a^{2n}\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)[/dispmath][dispmath]x^{2n}-x^na^ne^{i\theta}-x^na^ne^{-i\theta}+a^{2n}(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)(\cos\theta-i\cdot\sin\theta)[/dispmath][dispmath]x^{2n}-x^na^ne^{i\theta}-x^na^ne^{-i\theta}+a^{2n}(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)\bigl(\cos(-\theta)+i\cdot\sin(-\theta)\bigr)[/dispmath][dispmath]x^{2n}-x^na^ne^{i\theta}-x^na^ne^{-i\theta}+a^{2n}e^{i\theta}e^{-i\theta}[/dispmath][dispmath]\left(x^n-a^ne^{i\theta}\right)\left(x^n-a^ne^{-i\theta}\right)[/dispmath] Nek jos neko pogleda da li je ovo dobro mada ja mislim da je to rjesenje za tvoj zadatak

Dobro je, samo mislim da je nepotrebno iskomplikovano. Kad si došao do koraka

wolf11 je napisao:[dispmath]x^{2n}-2x^{n}a^{n}\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2} +a^{2n}[/dispmath]

nakon kraćenja dvojaka to je dalje jednako
[dispmath]P(x)=x^{2n}-x^na^ne^{i\theta}-x^na^ne^{-i\theta}+a^{2n}\\
P(x)=x^n\left(x^n-a^ne^{i\theta}\right)-a^ne^{-i\theta}\left(x^n-a^ne^{i\theta}\right)\\
\enclose{box}{P(x)=\left(x^n-a^ne^{i\theta}\right)\left(x^n-a^ne^{-i\theta}\right)}[/dispmath] Zapravo, umesto što si [inlmath]a^{2n}[/inlmath] množio sa [inlmath]\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)[/inlmath] pa posle taj faktor sveo na [inlmath]e^{i\theta}e^{-i\theta}[/inlmath], bilo je dovoljno odmah da [inlmath]a^{2n}[/inlmath] pomnožiš sa [inlmath]e^{i\theta}e^{-i\theta}[/inlmath] (jer je očigledno da je to jednako jedinici – [inlmath]1=e^0=e^{i\theta-i\theta}=e^{i\theta}e^{-i\theta}[/inlmath]).

[dispmath]P(x)=x^{2n}-2x^na^n\cos\theta+a^{2n}\\
x^n=y\\
y^2-2ya^n\cos\theta+a^{2n}=0\\
y_{1/2}=a^ne^{\pm i\theta}\\
\left(y-y_1\right)\left(y-y_2\right)=\left(x^n-a^ne^{i\theta}\right)\left(x^n-a^ne^{-i\theta}\right)[/dispmath] Ja bih ovako.

Hvala svima na pomoci.