MATEMANIJA

Ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]P(z)=z^5+(1+2i)\cdot z^4−(1+3i)\cdot z^2+7[/inlmath] polinomom [inlmath]Q(z)=z+2+i[/inlmath], gde je [inlmath]i^2=−1[/inlmath], je:

Ovako sam mislio da započnem:
[dispmath]P(z)=(z+2+i)\cdot A(z)+R(z)[/dispmath] "Caka" je uglavnom menjati [inlmath]z[/inlmath] da bi u prvoj zagradi dobili [inlmath]0[/inlmath]. Nemam ideju kako to uraditi u ovom slučaju. Jedino mi pada na pamet da napisem da je [inlmath]z=-2-i[/inlmath] ali bi onda prvobitni polinom bio baš kompleksan... Da li treba razmišljati u drugom pravcu ili se treba pozabaviti ovom zagradom na neki drugi način?

Primeni Bezuovu teoremu koja glasi: Ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] linearnim polinomom [inlmath]x-a[/inlmath] jednak je [inlmath]P(a)[/inlmath].

Pajče je napisao:Jedino mi pada na pamet da napisem da je [inlmath]z=-2-i[/inlmath] ali bi onda prvobitni polinom bio baš kompleksan...

Način na koji si krenuo da radiš (a koji ti je primus i potvrdio) sasvim je dobar.
Vrednost polinoma [inlmath]P(z)[/inlmath] nakon uvrštavanja [inlmath]z=-2-i[/inlmath] svakako će biti kompleksna u smislu da će pripadati skupu kompleksnih brojeva, ali neće biti previše kompleksna u smislu komplikovanosti. Biće potrebno samo da nađeš kvadrat izraza [inlmath]-2-i[/inlmath] (to je jednostavno), a polinom [inlmath]P(z)[/inlmath] možeš, radi pojednostavljenja postupka, napisati kao
[dispmath]\begin{align}
P(z)&=z\cdot z^4+(1+2i)\cdot z^4−(1+3i)\cdot z^2+7\\
&=(z+1+2i)z^4−(1+3i)\cdot z^2+7\\
&=\left[(z+1+2i)z^2−(1+3i)\right]z^2+7
\end{align}[/dispmath] Uvrstiš [inlmath]z[/inlmath], uvrstiš [inlmath]z^2[/inlmath] koje si odredio, malo središ i to je to...

Da sam probao, verovatno bih uradio i sam... Jos jedan dokaz da stvari puno puta nisu onakve kakvim se čine.
Svakako, hvala Danielu i Primusu na pomoći. Ukoliko nekog zanima, rešenje je [inlmath]-1-44i[/inlmath].