MATEMANIJA

Pozdrav! Naisao sam na jos jedan problematican zadatak:
Odrediti polinom cetvrtog stepena koji zadovoljava uslove [inlmath]P(2)=P(-2)=P(-3)=1[/inlmath] i [inlmath]P(1)=P(-1)=2[/inlmath]. Koliko je [inlmath]P(0)[/inlmath]? (Resenje: [inlmath]\frac{5}{2})[/inlmath]
Neka je trazeni polinom oblika [inlmath]ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/inlmath]. Po uslovu zadatka imamo
[dispmath]16a+8b+4c+2d+e=1\\
16a-8b+4c-2d+e=1\\
81a-27b+9c-3d+e=1\\
a+b+c+d+e=2\\
a-b+c-d+e=2[/dispmath] Resenje ovog sistema je [inlmath](a,b,c,d,e)=\left(\frac{1}{24},0,-\frac{13}{24},0,\frac{5}{2}\right)[/inlmath]. Resenje zadatka [inlmath]P(0)[/inlmath] je [inlmath]P(0)=e=\frac{5}{2}[/inlmath].
Medjutim, u zbirci zadatak je resen faktorizacijom polinoma. U resenjima pise da trazeni polinom (u faktorisanom obliku) glasi [inlmath]P(x)=\frac{1}{8}(x-3)(x-2)(x+2)(x+3)-1[/inlmath]. Iz ovog oblika ja nikako ne mogu da dodjem do rezultata [inlmath]\frac{5}{2}[/inlmath], za [inlmath]P(0)[/inlmath], a i koeficijenti koje sam ja dobio resavajuci sistem se potpuno razlikuju od koeficijenata polinoma iz resenja. Gde je zapravo greska, kod mene ili kod njih? Hvala!

Ovako "na blic", mislim da je greška u rešenju u zbirci. Ako u "njihov" faktorisani polinom uvrstimo [inlmath]x=2[/inlmath], nećemo dobiti da je [inlmath]P(2)=1[/inlmath] što je neophodno po uslovu zadatka.

U cilju uočavanja greške i otklanjanju iste ispisaću celo rešenje iz zbirke, "od a do š":
Iz uslova [inlmath]P(2)=P(-2)=P(-3)=1[/inlmath] i pošto je [inlmath]P(x)[/inlmath] polinom četvrtog stepena imamo
[dispmath]P(x)=(ax+b)(x-2)(x+2)(x+3)-1[/dispmath] Tada je [inlmath]P(1)=-12(a+b)-1[/inlmath] i [inlmath]P(1)=-6(-a+b)-1[/inlmath]. Uslov [inlmath]P(1)=P(-1)=2[/inlmath] ekvivalentan je sistemu
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
-12(a+b)-1=2\\
-6(-a+b)-1=2
\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;a=\frac{1}{8},\;b=-\frac{3}{8}[/dispmath] pa je
[dispmath]P(x)=\frac{1}{8}(x-3)(x-2)(x+2)(x+3)-1\;\Longrightarrow\;P(0)=-\frac{3}{8}\cdot(-2)\cdot2\cdot3-1=\frac{5}{2}[/dispmath]

Da, definitivno je greška u rešenju u zbirci, naravno da umesto

Frank je napisao:[dispmath]P(x)=(ax+b)(x-2)(x+2)(x+3)-1[/dispmath]

treba da stoji [inlmath]P(x)=(ax+b)(x-2)(x+2)(x+3){\color{red}+}1[/inlmath].

E sad, kako su s ovom greškom dobili tačno rešenje? Pa, tako što su napravili još jednu grešku, na samom kraju,

Frank je napisao:[dispmath]P(0)=-\frac{3}{8}\cdot(-2)\cdot2\cdot3-1=\frac{5}{2}[/dispmath]

Kad bi se ovo ispravno izračunalo, dobilo bi se [inlmath]\frac{7}{2}[/inlmath] a ne [inlmath]\frac{5}{2}[/inlmath] kako je u zbirci napisano.