MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF – 17. jun 2020.
15. zadatak

Zadatak ide ovako: Ako je [inlmath]P(x)[/inlmath] polinom petog stepena sa realnim koeficijentima, čiji je koeficijent uz najveći stepen jednak [inlmath]3[/inlmath] i čija je dvostruka nula broj [inlmath]2-i[/inlmath], a broj [inlmath]3[/inlmath] jednostruka nula, onda je [inlmath]P(1)[/inlmath] jednako:
Ponuđeni odgovori su:
[inlmath]A)\;3,\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;-9,\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;6,\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;-3,\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;-24[/inlmath]
Ne znam kako da ga uradim. Razumem da je [inlmath]P(x)=3x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+c[/inlmath], ali ne znam šta dalje da radim.

Napiši polinom u faktorisanom obliku i uvrsti poznate nule.

Ovde su ti faktički poznate sve nule, jer ako je [inlmath]2-i[/inlmath] jedna dvostruka kompleksna nula, odmah znamo koja mora biti druga dvostruka kompleksna nula.

Nakon toga ne moraš ni razvijati polinom, dovoljno je da u taj faktorisani oblik uvrstiš [inlmath]x=1[/inlmath].

Daniel je napisao:Napiši polinom u faktorisanom obliku i uvrsti poznate nule.

Nisam siguran kako ovo da uradim

Daniel je napisao:odmah znamo koja mora biti druga dvostruka kompleksna nula.

Nisam siguran da znam

Daniel je napisao:Napiši polinom u faktorisanom obliku i uvrsti poznate nule.

Polinom [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena,
[dispmath]a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/dispmath] predstavljen u faktorisanom obliku glasi
[dispmath]a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{n-1})(x-x_n)[/dispmath] gde su [inlmath]x_1,x_2,\ldots,x_{n-1},x_n[/inlmath] nule (iliti koreni) tog polinoma.

Daniel je napisao:odmah znamo koja mora biti druga dvostruka kompleksna nula.

Ako među nulama polinoma figurišu kompleksne nule, tada se one javljaju kao konjugovano-kompleksni parovi.
To znači, ako je [inlmath]a+ib[/inlmath] nula nekog polinoma, tada će i [inlmath]a-ib[/inlmath] takođe biti nula tog polinoma.

(Ovo ne važi ako koeficijenti polinoma nisu realni brojevi, ali na prijemnom se takav slučaj neće desiti – zato je u ovom zadatku i rečeno da je [inlmath]P(x)[/inlmath] polinom s realnim koeficijentima.)

Uspeo sam da uradim, hvala ti puno
Rešenje je: [inlmath]-24[/inlmath]
Da li je to tačno?

Yup
Nema na čemu.

Koliko sam shvatio iz ovog posta, nule ove funkcije su sledece: [inlmath]2-i[/inlmath] tj. prva dvostruka kompleksna nula, odmah znamo koja mora biti druga dvostruka kompleksna nula a to je [inlmath]2+i[/inlmath] i zadnja nula je data u zadatku a to je [inlmath]3[/inlmath]. E sada sam napravio faktorisani oblik i izgleda da mi tu nastaje problem: [inlmath](x-2+i)(x-2+i)(x-2-i)(x-2-i)(x-3)[/inlmath] i onda sam ovde uvrstio [inlmath]x=1[/inlmath] i dobio izraz cije je resenje [inlmath]-8[/inlmath]. To nije ni ponudjeno u ponudjenim odgovorima
Jel zna neko gde gresim?

Zaboravio si koeficijent uz najveći stepen. Ovaj podatak ti je već dat u tekstu zadatka.

Kako da iskoristim tu informaciju? Vidim da se iz mnozenja ovih monoma dobija clan najveceg stepena ciji je koeficijent [inlmath]1[/inlmath]. Jel treba samo da krajnje resenje pomnozim sa [inlmath]3[/inlmath]?
Hvala na odgovoru

Daniel je napisao:Polinom [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena,
[dispmath]a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/dispmath] predstavljen u faktorisanom obliku glasi
[dispmath]a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{n-1})(x-x_n)[/dispmath] gde su [inlmath]x_1,x_2,\ldots,x_{n-1},x_n[/inlmath] nule (iliti koreni) tog polinoma.

Da li je sada jasno?

Ahaaaaaa, hvala lepo!