MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON (prva grupa) – 13. jun 2020.
6. zadatak

Polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]x+1[/inlmath] daje ostatak [inlmath]1[/inlmath], pri deljenju sa [inlmath]x+2[/inlmath] daje ostatak [inlmath]6[/inlmath], a pri deljenju sa [inlmath]x−3[/inlmath] daje ostatak [inlmath]41[/inlmath]. Ostatak koji se dobija pri deljenju polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] sa [inlmath]x^3−7x−6[/inlmath] jednak je:
[inlmath]A)\;4x^2+3x+2;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2x^2+4x+1;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;3x^2+2x+1;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;3x^2+4x+2;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;2x^2+3x+1;\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Imam problem oko ovog zadatka jer ne znam ni kako da ga počnem uopšte ... Zadatke koji nemaju ostatak (odnosno on je jednak nuli) znam da uradim ali ovakve nikako ne znam. Ako može mala pomoć kako da započnem zadatak

Pogledaj ovu temu.

Zadaci ovog tipa se resavaju primenom Bezuove teoreme. Sledeci tekst zadatka imamo
[dispmath]P(x)=(x+1)\cdot Q_1(x)+1\\
P(x)=(x+2)\cdot Q_2(x)+6\\
P(x)=(x-3)\cdot Q_3(x)+41[/dispmath] Mozemo primetiti da [inlmath]x^3−7x−6[/inlmath] predstavlja proizvod [inlmath](x+1)(x+2)(x-3)[/inlmath]. U opstem slucaju ostatak deljenja polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] polinomom [inlmath]x^3−7x−6[/inlmath] bice drugog stepena, pa imamo
[dispmath]P(x)=(x+1)(x+2)(x-3)\cdot Q_4(x)+ax^2+bx+c[/dispmath] Sluzeci se gore navedenim izrazima imamo
[dispmath]P(-1)=a-b+c=1\\
P(-2)=4a-2b+c=6\\
P(3)=9a+3b+c=41[/dispmath] Resvanjem ovog sistema dobijamo da je [inlmath]a=3[/inlmath], [inlmath]b=4[/inlmath], [inlmath]c=2[/inlmath], pa je trazeni ostatak [inlmath]\enclose{box}{3x^2+4x+2}[/inlmath].

Razumeo sam sada, hvala punoo