MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 25. jun 2020.
8. zadatak

Ako je [inlmath]4−2i[/inlmath] jedno rešenje jednačine [inlmath]x^4+92x^3-881x^2+2808x-2020=0[/inlmath], onda je zbir svih realnih rešenja date jednačine jednak?
Resenje je [inlmath]-100[/inlmath].
Pocela sam da se radim preko Vietovih formula i dobijem da je [inlmath]x_1+x_2+x_3+x_4=-92[/inlmath] Ali ne znam kako dalje, ako se uopste ovako radi. I nadam se da nisam promasila temu. Hvala unapred, bas me muci ovaj zadatak a pretpostavljam da je u pitanju nesto lako

Kako je [inlmath]4-2i[/inlmath] jedna nula polinoma sledi da ce druga nula polinoma biti [inlmath]4+2i[/inlmath] (ovo svojstvo važi isključivo kod polinoma sa realnim koeficijentima). Koristeći teoremu o faktorizaciji polinoma, napiseš polinom čije su nule [inlmath]4-2i[/inlmath] i [inlmath]4+2i[/inlmath]. Neka je to polinom [inlmath]Q(x)[/inlmath].
[dispmath]Q(x)=(x-4+2i)(x-4+2i)=x^2-8x+20[/dispmath] Posto ovo uradiš, polinom iz teksta zadatka podeliš polinomom [inlmath]Q(x)[/inlmath]. Kada podeliš ova dva polinoma dobićeš polinom drugog stepena čije nule možes vrlo lako odrediti.

U postupku rešavanja zadatka koristili smo sledeće teoreme:

• Teorema o faktorizaciji polinoma - Svaki polinom [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena [inlmath]p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,\hspace{2mm}a_0\ne0[/inlmath] može biti predstavljen u obliku [inlmath]p(x)=a_0(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)[/inlmath].
• Polinom [inlmath]a(x)[/inlmath] deljiv je polinomom [inlmath]b(x)[/inlmath] ako i samo ako je svaki koren polinoma [inlmath]b(x)[/inlmath] ujedno i koren polinoma [inlmath]a(x)[/inlmath].

Dobro si krenula preko Vietovih formula. Pošto znamo da je [inlmath]x_3=4-2i[/inlmath], onda znamo i koliko je [inlmath]x_4[/inlmath] (koliko?). I onda direktno znamo koliko je [inlmath]x_1+x_2[/inlmath].

Iz samog teksta zadatka (data je jedna kompleksna nula, a traži se zbir realnih nula), jasno je da će dve nule ovog polinoma biti kompleksne, a dve realne. Da je tekst zadatka glasio "koliko ima kompleksnih nula", tada bismo morali da delimo.

miletrans je napisao:Iz samog teksta zadatka (data je jedna kompleksna nula, a traži se zbir realnih nula), jasno je da će dve nule ovog polinoma biti kompleksne, a dve realne. Da je tekst zadatka glasio "koliko ima kompleksnih nula", tada bismo morali da delimo.

Ja se ne bih baš usudio da na taj način zaključim da polinom mora imati realne nule. Da su sve četiri nule kompleksne, zbog čega se tada ne bi moglo reći da zbir realnih nula iznosi [inlmath]0[/inlmath]? (Tim pre što [inlmath]0[/inlmath] i jeste jedan od ponuđenih odgovora.)

Međutim, lako se možemo uveriti, takođe primenom Vieta, da ne mogu sve četiri nule biti kompleksne, jer bi tada njihov proizvod [inlmath]x_1x_2x_3x_4[/inlmath] morao biti veći od nule (proizvod konjugovano-kompleksnih brojeva je uvek realan i pozitivan). Međutim, kako je prema Vietovim formulama [inlmath]x_1x_2x_3x_4=\frac{-2020}{1}<0[/inlmath], to zaključujemo da ovaj polinom ne može imati sve četiri kompleksne nule, tj. da mora imati dve realne nule.

Inače, da l' je propust sastavljača zadatka, il' je namerno tako urađeno – ali u zadatku je dato više podataka nego što je dovoljno. Da je samo rečeno da je [inlmath]4-2i[/inlmath] jedno rešenje jednačine [inlmath]x^4+92x^3-881x^2+2808x+m=0[/inlmath], odatle bi sledilo ovo što je inače dato, a to je [inlmath]m=-2020[/inlmath].
Moguće da su tim podatkom hteli rešavačima da skrate posao.

Frank je napisao:

• Teorema o faktorizaciji polinoma - Svaki polinom [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena [inlmath]p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,\hspace{2mm}a_0\ne0[/inlmath] može biti predstavljen u obliku [inlmath]p(x)=a_0(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)[/inlmath].

Obeležavanje nije dobro. S ovim oznakama, ispalo bi da su svi koeficijenti nekog polinoma ujedno i nule tog polinoma, a znamo da to nije slučaj. Dakle, ne [inlmath]p(x)=a_0(x-{\color{red}a}_1)(x-{\color{red}a}_2)\cdots(x-{\color{red}a}_n)[/inlmath] već [inlmath]p(x)=a_0(x-{\color{green}x}_1)(x-{\color{green}x}_2)\cdots(x-{\color{green}x}_n)[/inlmath], gde su [inlmath]x_1,x_2,\dots,x_n[/inlmath] nule tog polinoma.

Teoreme prepisah iz zbirke, od reči do reči. Ne kažem da nisi u pravu, već...

Ni zbirke nisu imune na štamparske i druge greške (što potvrđuje i ovaj primer), tako da treba s izvesnom rezervom uzimati i ono što je u njima napisano.

Valjda se slažeš da se [inlmath]x^2-4x+3[/inlmath] ne može napisati kao [inlmath](x+4)(x-3)[/inlmath]?

Daniel je napisao:Valjda se slažeš da se [inlmath]x^2-4x+3[/inlmath] ne može napisati kao [inlmath](x+4)(x-3)[/inlmath]?

Naravno da se slažem.