MATEMANIJA

Tekst zadatka: Prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] je veći od [inlmath]2[/inlmath]. Koliki je ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]P(x)=n^3+2019[/inlmath] sa [inlmath]Q(x)=n+1[/inlmath]?
Shvatio sam da je [inlmath]P\left(-\sqrt[3]{2019}\right)=0[/inlmath], ali ne znam kako to da primenim u Bezouvom stavu jer je iracionalan broj i [inlmath]Q(-1)=0[/inlmath], ali ni to ne znam kako da upotrebim jer je polinom stepena [inlmath]1[/inlmath]. Ako bih mogao to u Bezuovom stavu da primenim dalje bih verovatno radio [inlmath]P(x)=Q(x)\cdot R(x)+r[/inlmath].

Samo da pitam, da li zadatak baš glasi ovako? Ako jeste, to znači da nam na oba mesta figuriše [inlmath]n[/inlmath], a da ni u jednom polinomu ne figuriše [inlmath]x[/inlmath]. Strogo formalno, oba polinoma u tom slučaju bi bili polinomi nultog stepena, a "narodski" rečeno, oba polinoma bi bili - brojevi. Pokušaj, stavi bilo koja dva prirodna broja veća od dva (po uslovu zadatka) i dobićeš dva broja.

Što se tiče rešenja, mislim da nema potrebe za Bezuovim stavom. Ako posmatramo [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath] kao polinome po [inlmath]n[/inlmath], imamo polinom trećeg i polinom prvog stepena, pa nije nikakav problem podeliti ih i videti šta je ostatak. Pošto je delilac prvog stepena, znamo i najveći mogući stepen ostatka.

Što se tiče Bezuovog stava, lepo si primetio da je [inlmath]Q(-1)=0[/inlmath], ali je problem što je po uslovu zadatka [inlmath]n[/inlmath] prirodni broj veći od dva, pa ne bismo smeli da zamenimo [inlmath]-1[/inlmath] u [inlmath]P[/inlmath].

miletrans je napisao:Samo da pitam, da li zadatak baš glasi ovako?

Da, evo link - 22. zadatak

Podelio sam polinome i dobio sam [inlmath]x^3+2019=(x+1)\left(x^2-x+1\right)+2018[/inlmath], ali ostatak nije [inlmath]2018[/inlmath], proverio sam za [inlmath]n=\left\{3,4,5,6,7,8,9\right\}[/inlmath] i ako sam dobro izračunao dobiju se redom ostaci: [inlmath]\left\{2,3,2,2,2,2,8\right\}[/inlmath]

ognjentesic je napisao:

miletrans je napisao:Samo da pitam, da li zadatak baš glasi ovako?

Da, evo link - 22. zadatak

Pa valjda i sâm uočavaš da zadatak na linku ne glasi onako kako si ga ti ovde napisao.
U originalnom tekstu zadatka nigde ne figuriše oznaka [inlmath]x[/inlmath], koju si ti ovde upotrebio (i time izazvao zabunu).

ognjentesic je napisao:Podelio sam polinome i dobio sam [inlmath]x^3+2019=(x+1)\left(x^2-x+1\right)+2018[/inlmath]

To je u redu. S tim, da u zadatku nije upotrebljena oznaka [inlmath]x[/inlmath], već [inlmath]n[/inlmath].

ognjentesic je napisao:ali ostatak nije [inlmath]2018[/inlmath], proverio sam za [inlmath]n=\left\{3,4,5,6,7,8,9\right\}[/inlmath] i ako sam dobro izračunao dobiju se redom ostaci: [inlmath]\left\{2,3,2,2,2,2,8\right\}[/inlmath]

Ne možeš ostatak pri deljenju polinoma određivati tako što umesto promenljive uvrštavaš konkretne brojne vrednosti (kad bi to tako moglo, čemu bi nam onda služio Bezuov stav?)

Uporno gledam šta će im taj uslov da je [inlmath]n>2[/inlmath], ali ne uočavam... Možda samo zato da „zbuni protivnika“?

Izvinjavam se što sam izazvao zabunu i što kasno odgovaram.

Daniel je napisao:Ne možeš ostatak pri deljenju polinoma određivati tako što umesto promenljive uvrštavaš konkretne brojne vrednosti (kad bi to tako moglo, čemu bi nam onda služio Bezuov stav?)

Znam da to matematički nije ispravno, ali pokušao sam da uočim neku linearnu zavisnost, ili da su npr. svi ostaci isti broj što ovde svakako nije slučaj.

Daniel je napisao:Uporno gledam šta će im taj uslov da je [inlmath]n>2[/inlmath], ali ne uočavam... Možda samo zato da „zbuni protivnika“?

Meni bi bio logičan uslov [inlmath]n>1[/inlmath] jer za [inlmath]n=1[/inlmath] nema ostatka - on je [inlmath]0[/inlmath]. Ali, zar nije odgovor da daje ostatak isti kao što [inlmath]2018[/inlmath] daje pri deljenju sa [inlmath]n+1[/inlmath]? To se uklapa u ono uvrštavanje broja [inlmath]n[/inlmath].

ognjentesic je napisao:Meni bi bio logičan uslov [inlmath]n>1[/inlmath] jer za [inlmath]n=1[/inlmath] nema ostatka - on je [inlmath]0[/inlmath]. Ali, zar nije odgovor da daje ostatak isti kao što [inlmath]2018[/inlmath] daje pri deljenju sa [inlmath]n+1[/inlmath]? To se uklapa u ono uvrštavanje broja [inlmath]n[/inlmath].

Što se tiče uspostavljanja neke korelacije izmedju deljenja polinoma i deljenja brojeva, evo jedne ilustracije: Upotrebimo primer u zadatku i neka je npr [inlmath]n=2[/inlmath]. Zamenom u formulu [dispmath]n^3+2019=(n+1)\left(n^2-n+1\right)+2018[/dispmath] dobijamo: [inlmath]2027=3\cdot3+2018[/inlmath]. Tada bi prema tvom načinu zaključivanja, količnik pri deljenju broja [inlmath]2027[/inlmath] brojem [inlmath]3[/inlmath] bio jednak [inlmath]3[/inlmath], a ostatak [inlmath]2018[/inlmath], što očigledno nema veze sa vezom. E sad da pojasnim grešku sa teorijske strane: Prilikom deljenja nekog broja nekim brojem (npr. [inlmath]a[/inlmath]), ostatak koji se dobija prilikom tog deljenja mora biti manji od tog [inlmath]a[/inlmath]. Kod polinoma, nas konkretna brojevna vrednost ne zanima. Nas zanima samo da je stepen ostatka manji od stepena polinoma kojim delimo, jer je to glavna karakteristika deljenja polinoma. Nadam se da ti je jasnije zašto ne može da se primenjuje ta transformacija.