MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 29. jun 2006.
11. zadatak

Pozdrav,
Obnavljao sam malo prethodne oblasti i naišao do zanimljivog, ali za sad "nerešivog" zadatka
U pitanju su kvadratne jednačine sa parametrom, tj. Vietove formule;

Ako su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja jednačine [inlmath]x^2+4px+q=0[/inlmath] a [inlmath]x_1-2[/inlmath] i [inlmath]x_2-2[/inlmath] rešenja jednačine [inlmath]x^2-p^2x+pq=0[/inlmath], gde su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] realni brojevi, tada je zbir [inlmath]p+q[/inlmath] jednak;
Tačan odgovor je [inlmath]2[/inlmath]

E sad, nisam imao ideju kako bih ovo mogao da rešim. Imao sam na umu da rešim sistemom, ali opet nisam siguran kako bih to izveo.
Šta bi ste mi savetovali u pristupu ovakvog zadatka?

Upotrebom Vietovih formula dobijamo:
[dispmath]\begin{cases}
x_1+x_2=-4p\\
x_1x_2=q\\
x_1+x_2=p^2+4\\
x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=pq
\end{cases}[/dispmath] Dakle:
[dispmath]-4p=p^2+4\\
p^2+4p+4=0\\
(p+2)^2=0\\
\enclose{box}{p=-2}\\
q+8p+4=pq\\
q-16+4=-2q\\
3q=12\\
\enclose{box}{q=4}[/dispmath] Pa je:
[dispmath]\enclose{box}{p+q=2}[/dispmath]

Hvala na pomoći. Znači u principu suština je da se spoji [inlmath]x_1+x_2[/inlmath] prve jednačine i [inlmath]x_1+x_2[/inlmath] druge jednačine i isto tako da se spoji druga vietova formula?
Samo mi nije baš najjasnije kako si dobio ovo;
[inlmath]x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4=pq[/inlmath]

[inlmath](x_1-2)(x_2-2)=pq[/inlmath]