Dve zajedničke nule dva polinoma – naći vrednost realnih parametara p i q
Poslato: Nedelja, 20. Decembar 2020, 16:47Pozdrav! Tekst zadatka je sledeći:
Naći sve realne brojeve [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] takve da polinomi [inlmath]P(x)=x^3+px^2+18[/inlmath] i [inlmath]Q(x)=x^3+qx+12[/inlmath] imaju dva zajednička korena. Odrediti te korene.
Nemam rešenje zadatka.
Prvi put se susrećem sa zadacima ovog tipa. Pokušao sam da zajedničko rešenje "markiram" sa [inlmath]a[/inlmath], tj.
[dispmath]\left(a^3+pa^2+18=0\quad\land\quad a^3+qa+12\right)\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{q\pm\sqrt{q^2-24p}}{2p}.[/dispmath] Međutim, ovim ne dobijam ništa (u prilog tome ide i činjenica da polinomi imaju dve zajedničke nule, a ne samo jednu). Ni Vietove veze ne pomažu ništa...
Smernica u kom pravcu da krenem s rešavnjem zadatka bi dobro došla. Hvala!
Naći sve realne brojeve [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] takve da polinomi [inlmath]P(x)=x^3+px^2+18[/inlmath] i [inlmath]Q(x)=x^3+qx+12[/inlmath] imaju dva zajednička korena. Odrediti te korene.
Nemam rešenje zadatka.
Prvi put se susrećem sa zadacima ovog tipa. Pokušao sam da zajedničko rešenje "markiram" sa [inlmath]a[/inlmath], tj.
[dispmath]\left(a^3+pa^2+18=0\quad\land\quad a^3+qa+12\right)\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{q\pm\sqrt{q^2-24p}}{2p}.[/dispmath] Međutim, ovim ne dobijam ništa (u prilog tome ide i činjenica da polinomi imaju dve zajedničke nule, a ne samo jednu). Ni Vietove veze ne pomažu ništa...
Smernica u kom pravcu da krenem s rešavnjem zadatka bi dobro došla. Hvala!
Samo ti napiši Vietove veze za svaki od ova dva polinoma – imaćeš tri za prvi i tri za drugi, tj. ukupno šest jednačina. Budući da imaš ukupno šest nepoznatih ([inlmath]a,b,c_1,c_2,p,q[/inlmath], gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] zajednički koreni oba polinoma, [inlmath]c_1[/inlmath] preostali koren prvog polinoma i [inlmath]c_2[/inlmath] preostali koren drugog polinoma), imaćeš sistem od šest jednačina sa šest nepoznatih, koji se relativno lako rešava.