MATEMANIJA

Dobar dan novi sam ovde pa izvinite me ako nesto pogresim. Radi se o 2 zadatka za Farmaceutski smer u Kragujevcu i jos nigde nisam video nesto sto bi mi pojasnilo
Evo prvog
Ako je broj [inlmath]\sqrt3-\sqrt2[/inlmath] nula polinoma [inlmath]P(x)=x^4+ax^2+b[/inlmath] onda je [inlmath]a+b[/inlmath]

E sad ja znam sta je nula polinoma kad polinom izjednacim s nulom i [inlmath]x[/inlmath] mi je jednako ovom broju al kad ja to sve izmnozim, kvadriram itd.. dobijem [inlmath]a[/inlmath] uz taj neki ogroman broj i ne znam kako da ga izolujem i saberem sa [inlmath]b[/inlmath] sto uzgred takodje nemam...
Ponudjena su resenja: [inlmath]-10,\:-9,\:11,\:12,\:14[/inlmath]

Pozdrav, dobro došao na forum!
Kako bi izbegao stepenovanje na cetvrti stepen savetujem ti da [inlmath]x^2[/inlmath] izvučeš ispred zagrade pa onda primeniš kvadrat binoma... Kad to središ dobićeš sledeći izraz
[dispmath]49-20\sqrt6+5a-2\sqrt6a+b=0[/dispmath] E sad izvuci [inlmath]\sqrt6[/inlmath] ispred zagrade. Da li to to daje neku ideju?
P. S. Ako pogledamo ponudjena rešenja lako možemo zaključiti da i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] moraju biti racionalni brojevi.

@markonikolic23, dobrodošlica i od mene.

Frank je napisao:Kako bi izbegao stepenovanje na cetvrti stepen savetujem ti da [inlmath]x^2[/inlmath] izvučeš ispred zagrade pa onda primeniš kvadrat binoma...

A možemo i, nakon što smo primenili kvadrat binoma i dobili [inlmath]x^2[/inlmath], opet primeniti kvadrat binoma na taj novi binom kako bismo dobili [inlmath]x^4[/inlmath]...

Frank je napisao:P. S. Ako pogledamo ponudjena rešenja lako možemo zaključiti da i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] moraju biti racionalni brojevi.

Na osnovu čega iz [inlmath]a+b\in\{-10,-9,11,12,14\}[/inlmath] zaključujemo da mora važiti [inlmath]a,b\in\mathbb{Q}[/inlmath]?
Osim toga, šta da kojim slučajem nismo imali ponuđena rešenja?

Daniel je napisao:A možemo i, nakon što smo primenili kvadrat binoma i dobili [inlmath]x^2[/inlmath], opet primeniti kvadrat binoma na taj novi binom kako bismo dobili [inlmath]x^4[/inlmath]...

Hteo sam samo da kažem da ćemo lakše i brže srediti Izraz ako dva puta primenimo kvadrat binoma nego da množimo četiri zagrade. Tako je barem meni...

Daniel je napisao:Na osnovu čega iz [inlmath]a+b\in\{-10,-9,11,12,14\}[/inlmath] zaključujemo da mora važiti [inlmath]a,b\in\mathbb{Q}[/inlmath]?

Zbir/razlika dva iracionalna broja je uvek iracionalan broj (eventualno nula ako su isti/suprotni)

Daniel je napisao:Osim toga, šta da kojim slučajem nismo imali ponuđena rešenja?

Onda bi u tekstu zadataka bilo rečeno da su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] racionalni (barem je tako bilo u sličnim zadacima koje sam radio). Ne znam kako bismo drugačije.

Ako je sve što sam napisao u ovom i prethodnom postu netačno, i mene bi zanimalo originalno rešenje zadataka.

Frank je napisao:Zbir/razlika dva iracionalna broja je uvek iracionalan broj (eventualno nula ako su isti/suprotni)

Ne mora biti. Neka je, recimo, [inlmath]m,n,p\in\mathbb{Q}[/inlmath], [inlmath]n\ne0[/inlmath], [inlmath]a=m+n\sqrt6[/inlmath] i [inlmath]b=p-n\sqrt6[/inlmath]. Tada su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] iracionalni, a njihov zbir je ipak racionalan (jer se iracionalni delovi međusobno krate).

Frank je napisao:Onda bi u tekstu zadataka bilo rečeno da su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] racionalni (barem je tako bilo u sličnim zadacima koje sam radio). Ne znam kako bismo drugačije.

Definitivno u tekstu zadatka nešto nedostaje. Jer, s ovako napisanim tekstom, imali bismo beskonačno mnogo rešenja po [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], tj. [inlmath](a,b)=\Bigl(t,\;20\sqrt6-49+\left(2\sqrt6-5\right)t\Bigr)[/inlmath], [inlmath]t\in\mathbb{R}[/inlmath].
Da je dat uslov da [inlmath]a+b[/inlmath] mora biti racionalan broj, imali bismo nešto sužen skup rešenja, ali bi ih opet bilo beskonačno mnogo: [inlmath](a,b)=\left(2t+(t+5)\sqrt6,\;2t+11-(t+5)\sqrt6\right)[/inlmath], [inlmath]t\in\mathbb{R}[/inlmath]. Ovo bi moglo zadovoljiti dva od pet ponuđenih odgovora (za [inlmath]t=-5[/inlmath] bi bilo [inlmath]a+b=-9[/inlmath] i za [inlmath]t=0[/inlmath] bi bilo [inlmath]a+b=11[/inlmath]), tako da opet ne bismo imali jedinstveno rešenje.

Hvala na pomoci , pogresio sam tekst zadatka trebalo je \sqrt 2 +\sqrt 3 , i da brojevi a,b jesu elementi skupa R, na osnovu ovog objasnjenja mogu i sam da resim. Izvinite na utrosenom vremenu.