MATEMANIJA

Koliko zajednickih delilaca oblika [inlmath]z-a[/inlmath] imaju polinomi
[inlmath]z^8-1[/inlmath] i [inlmath]z^{2018}-z^{2010}+z^9+z^8-z-1[/inlmath]?
Moguci odgovori
[inlmath]0[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath], [inlmath]8[/inlmath]

E sad koliko sam ja razumela sto mi je neko objasnjavao; znaci da ovaj prvi polinom ima [inlmath]8[/inlmath] nula i sad sve nule moraju da budu zajednicke ovim polinoma da bi imali zajednicke delioce, i sad ja ne razumem kako da rasclanim ovaj drugi polinom na nule, i da li onda to znaci da je resenje [inlmath]0[/inlmath] ako on nema nule, hvala

Tačno je da prvi polinom ima osam nula. Ali zašto misliš da svih osam nula moraju da se poklapaju sa nulama drugog polinoma? Onda bi jedini mogući odgovori bili ili [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]8[/inlmath]. Mislim da bi najlakši način bio da drugi polinom faktorizuješ tako što će jedan od činilaca da bude [inlmath]z^8-1[/inlmath] (ovo ne bi trebalo da bude teško) i onda je stvar jasna.

Ja ne razumem kako to da ima [inlmath]8[/inlmath], jer ako ga izjednacim sa nulom dobijam dva resenja ([inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]) a ne [inlmath]8[/inlmath], da li tu udeo ima to sto je eksponent [inlmath]8[/inlmath]? I sto se tice drugog dela, faktorizovala sam i dobila izraz [inlmath]z^{2010}+z+1[/inlmath] i sad ne razumem kako dobiti ovde nule, jedino ako ima [inlmath]2[/inlmath] :/ Hvala na pomoci

Kog je stepena polinom toliko nula ima taj polinom. Kad je stepen parni broj može da se dogodi da nema realnih rešenja. Kao što si napisala polinom [inlmath]z^8-1[/inlmath] ima dva realna rešenja ostala su kompleksna (i rešenja su konjugovano-kompleksna). [inlmath]z^8-1=(z-1)(z+1)\left(z^2+1\right)\left(z^4+1\right)[/inlmath]
Drugi se može ovako napisati
[dispmath]z^{2018}-z^{2010}+z^9+z^8-z-1=\left(z^8-1\right)\left(z^{2010}+z+1\right)[/dispmath] Odavde sledi da su nule polinoma [inlmath]z^8-1[/inlmath] nule drugog polinoma (pored njih ima još).
Ja bih rekla da je rešenje [inlmath]8[/inlmath]. Da li može ovo još neko da proveri?

Kao što je @Vivienne pomenula, stepen polinoma je broj njegovih nula. Neke od tih nula mogu da budu realne (u ovom slučaju dve) a neke mogu da budu kompleksne (pored ove dve pomenute polinom ima još šest kompleksnih nula). Kompleksne nule polinoma uvek idu "u paru" kao konjugovano-kompleksne (ovo važi samo kod polinoma koji imaju realne koeficijente, ali koliko znam, samo takvi dolaze na prijemnom). I upravo zato će polinom neparnog stepena imati bar jednu realnu nulu.

Što se tiče nula polinoma sa eksponentom [inlmath]2010[/inlmath] njih će, naravno, biti [inlmath]2010[/inlmath]. U ovom zadatku se samo traži koliko ima zajedničkih nula ova dva polinoma, ali se ne traži da se one određuju. Sa nekim drugim brojevima bih preporučio određivanje nula kao dobru vežbu, ali ipak [inlmath]2010[/inlmath] komada je malo previše . Ako te generalno zanima korenovanje u kompleksnom domenu, pogledaj ovo, poslednja dva reda.