MATEMANIJA

Pozdrav,
- Vrednost realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] za koju je jedan koren jednačine [inlmath]x^3-7x+a=0[/inlmath] dva puta veći od drugog je:
- Rešenje: [inlmath]\pm6[/inlmath]

- Da li neko ima ideju kako se ovo radi? Nemam nikakvu ideju.

Označimo sa [inlmath]x_1[/inlmath] rešenje koje je dvaput manje, a sa [inlmath]x_2[/inlmath] rešenje koje je dvaput veće (ono preostalo rešenje, [inlmath]x_3[/inlmath], nije nam ovde od interesa).

Prvo uvrsti [inlmath]x_1[/inlmath] u datu jednačinu. Zatim uvrsti i [inlmath]x_2[/inlmath] u datu jednačinu (pri čemu [inlmath]x_2[/inlmath] odmah možeš pisati kao [inlmath]2x_1[/inlmath]). Time si dobio sistem dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath].

Ne mogu da rešim sistem jer dobijam da su obe jednačine jednake nuli pa ne može da se reši.

Ne može jednačina biti jednaka nuli, jer jednačina nije matematički izraz pa da ima neku vrednost. Može eventualno leva ili desna strana jednačine biti jednaka nuli.
Možeš li napisati taj sistem koji si dobio, pa da te uputimo šta i kako dalje?

Da desna strana je jednaka nuli, dobio sam ovo:
[dispmath]-56x_1+8a=0\\
-14x_1+a=0[/dispmath]

Negde imaš grešku, fale ti sabirci koji sadrže [inlmath]x_1^3[/inlmath], treba da se dobije
[dispmath]{\color{red}8x_1^3}-56x_1+8a=0\\
{\color{red}8x_1^3}-14x_1+a=0[/dispmath] Sada prvo eliminišeš sabirke koji sadrže [inlmath]x_1^3[/inlmath], oduzimanjem prve jednačine od druge, čime dobiješ [inlmath]42x_1=7a[/inlmath] (naravno, nakon toga skratiš levu i desnu stranu sa [inlmath]7[/inlmath]).

Zatim eliminišeš sabirke koji sadrže [inlmath]x_1[/inlmath], oduzimanjem od prve jednačine drugu pomnoženu sa [inlmath]4[/inlmath], čime dobiješ [inlmath]24x_1^3=4a[/inlmath] (naravno, nakon toga skratiš levu i desnu stranu sa [inlmath]4[/inlmath]).

Ovime si dobio nov sistem, iz prve jednačine izraziš [inlmath]x_1[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath], i zatim to uvrstiš u drugu jednačinu umesto [inlmath]x_1[/inlmath]...

Da shvatio sam sad, dobija se posle rešenje ovako:
[dispmath]6\left(\frac{a}{6}\right)^3=a\\
a^3=36a[/dispmath][dispmath]a\left(a^2-36\right)=0[/dispmath][dispmath]a_1=-6[/dispmath][dispmath]a_2=6[/dispmath][dispmath]a_3=0[/dispmath] Hvala na pomoći!