MATEMANIJA

Trenutno spremam prijemni za FON, a drugarica koja sprema prijemni za ETF mi je poslala zadatak koji ne možemo da rešimo, tako da bi nam dobro došla pomoć.

Tekst zadatka:
Odrediti ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] sa [inlmath]\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)[/inlmath], ako [inlmath]P(x)[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]x^2+x+1[/inlmath] daje ostatak [inlmath]x+1[/inlmath], a pri deljenju sa [inlmath]x^2+x+2[/inlmath] ostatak [inlmath]x+2[/inlmath].

Moji pokušaji rešavanja su se sveli na traženje nula gde sam dobio da je za [inlmath]x^2+x+1[/inlmath]
[dispmath]x_{1,2} =-\frac{1}{2}\pm\frac{i\sqrt3}{2}[/dispmath] I za [inlmath]x^2+x+2[/inlmath]
[dispmath]x_{1,2} =-\frac{1}{2}\pm\frac{i\sqrt7}{2}[/dispmath] Posle toga sam iskoristio:
[dispmath]P(\alpha)=R(\alpha)[/dispmath] Ali tu već nemam ideju pa bi mi trebala pomoć...

P.S. Prvi put postujem na forumu pa se unapred izvinjavam za greške u Latex-u (ako ih ima).

Dobro došao na forum.

Dakle, pošto je [inlmath]P(x)=G_1(x)\left(x^2+x+1\right)+x+1[/inlmath] uvrštavanjem [inlmath]x=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] dobijamo
[dispmath]P\left(-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2}+1=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath] a takođe pošto je [inlmath]P(x)=G_2(x)\left(x^2+x+2\right)+x+2[/inlmath] uvrštavanjem [inlmath]x=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt7}{2}[/inlmath] imamo i da je
[dispmath]P\left(-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt7}{2}\right)=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt7}{2}+2=\frac{3}{2}\pm i\frac{\sqrt7}{2}[/dispmath] Sada, pošto polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] deliš polinomom četvrtog stepena, znaš da će ostatak u opštem slučaju biti polinom trećeg stepena. Označimo traženi ostatak kao [inlmath]R(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D[/inlmath]. Tada je
[dispmath]P(x)=G(x)\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)+Ax^3+Bx^2+Cx+D[/dispmath] Uvrštavanjem [inlmath]x=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] ćeš, razdvajanjem realnih i imaginarnih delova, dobiti dve jednačine, a zatim, uvrštavanjem [inlmath]x=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt7}{2}[/inlmath] još dve jednačine.
(Tamo gde imaš [inlmath]\pm[/inlmath] ne moraš raditi i za slučaj [inlmath]+[/inlmath] i za slučaj [inlmath]-[/inlmath], dovoljno je samo za jedan od ta dva slučaja, jer kad npr. uradiš za slučaj [inlmath]+[/inlmath], ako bi nakon toga radio i za slučaj [inlmath]-[/inlmath] dobio bi istu tu jednačinu samo pomnoženu sa [inlmath]-1[/inlmath].)

Na kraju iz te četiri jednačine odrediš ta četiri koeficijenta [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath], čime si odredio traženi ostatak.

Mika je napisao:P.S. Prvi put postujem na forumu pa se unapred izvinjavam za greške u Latex-u (ako ih ima).

Nema ih, sve si super napisao.

Hvala na uputstvu, probao sam ponovo da ga uradim i kada sam izračunao sistem koji sam dobio, dobio sam rešenje [inlmath]R(x)=-2x^2-x-2[/inlmath], a zapravo treba da ispadne [inlmath]R(x)=-x^2[/inlmath].

Nisam siguran gde je greška ali je račun kod ovog dela poprilično zahtevan,

Daniel je napisao:[dispmath]P(x)=G(x)\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)+Ax^3+Bx^2+Cx+D[/dispmath]

pa pretpostavljam da je tu problem.

Ovaj sistem sam proverio više puta ali izgleda da je ok moj račun.

Daniel je napisao:Na kraju iz te četiri jednačine odrediš ta četiri koeficijenta [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath], čime si odredio traženi ostatak.

Jeste, treba da se dobije [inlmath]R(x)=-x^2[/inlmath] (i inače te molim, i ne samo tebe, da kad znaš krajnji rezultat uvek ga i napišeš u uvodnom postu).

Nije račun mnogo zahtevan, najveći posao je odrediti kvadrat i kub kompleksnih brojeva koje uvrštavaš.
Proveri jesi li dobio sledeće:
[dispmath]\left(-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=-\frac{1}{2}\mp i\frac{\sqrt3}{2}\\
\left(-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2}\right)^3=1\\
\left(-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt7}{2}\right)^2=-\frac{3}{2}\mp i\frac{\sqrt7}{2}\\
\left(-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt7}{2}\right)^3=\frac{5}{2}\mp i\frac{\sqrt7}{2}[/dispmath]

Daniel je napisao:Proveri jesi li dobio sledeće:
[dispmath]\left(-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=-\frac{1}{2}\mp i\frac{\sqrt3}{2}\\
\left(-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2}\right)^3=1\\
\left(-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt7}{2}\right)^2=-\frac{3}{2}\mp i\frac{\sqrt7}{2}\\
\left(-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt7}{2}\right)^3=\frac{5}{2}\mp i\frac{\sqrt7}{2}[/dispmath]

Proverio sam, i ovaj deo mi je dobar, jedino mi ostaje da se pri razdvajanju kod kompleksnog broja nešto ne poklapa, ali ni tu nisam uočio grešku...

Jesi li vodio računa o razlici između znakova [inlmath]\pm[/inlmath] i [inlmath]\mp[/inlmath]?
Ukoliko ni to nije u pitanju, najbolje da priložiš svoj postupak pa da nađemo grešku – ovako je sve samo nagađanje.

Probaj drugačiji pristup:
Ako je [dispmath]P\left( x \right) =\left( x^{2}+x+1 \right) A\left( x \right) +\left( x+1 \right)[/dispmath] [dispmath]P\left( x \right) =\left( x^{2}+x+2 \right) B\left( x \right) +\left( x+2 \right)[/dispmath] Pomnoži prvu jednakost sa [inlmath]x^{2}+x+2[/inlmath] i drugu sa [inlmath]x^{2}+x+1[/inlmath], a zatim dobijene jednakosti oduzmi...