MATEMANIJA

Treba dokazati da je:
[dispmath]P(x)=x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}[/dispmath]
deljiv sa:
[dispmath]Q(x)=x^2+x+1[/dispmath]
Imam utisak da je lako, ali ne ide :/

Polinom [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] napiši u faktorisanom obliku, [inlmath]\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)[/inlmath].
[inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] će biti neke konjugovano-kompleksne vrednosti, koje treba da odrediš.
Zadatak se svodi na dokaz da je [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] deljiv svakim od ta dva faktora polinoma [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath]. Koristeći Bezuovu teoremu, ako pokažeš da je [inlmath]P\left(x_1\right)=0[/inlmath] i [inlmath]P\left(x_2\right)=0[/inlmath], to znači da je [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] deljiv svakim od ta dva faktora polinoma [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath], a samim tim je deljiv i polinomom [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath].
Pri ovom dokazivanju primetićeš jednu lepu pravilnost, da je [inlmath]x_1^2=x_2[/inlmath], [inlmath]x_2^2=x_1[/inlmath], [inlmath]x_1^3=x_2^3=1[/inlmath].

Nikad mi ne bi ovo palo na pamet, uporno sam [inlmath]x^2+x+1[/inlmath] posmatrao kao [inlmath]x^2+1[/inlmath] i tako faktorisao i uporno mi u glavi ne ispada dobro, nista dok se ne napise, hvala