MATEMANIJA

Pozdrav forume
Pošto na redovnom satu nismo učili ovo, tek smo na pripremama na brzinu napisali sljedeće:
[dispmath]1.[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{l}
f(x)=4x^3+5x-21\\
\underline{g(x)=2x^2+3x+7}
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]f(x):g(x)=?[/dispmath]

[dispmath]\begin{array}{l}
(4x^3+5x-21):(2x^2+3x+7)=2x-3\\
\phantom{(}\underline{4x^3+6x^2+14x}\\
\phantom{(4x^3.}\left.\begin{matrix}
-6x^2-9x-21\\
-6x^2-9x-21
\end{matrix}\right|-\\
\phantom{(4x^3a}\overline{\phantom{-6x^2-9x-21}}
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]2.[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}
f(x)=2x^3-4x^2+6x-12\\
g(x)=x-2
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\overline{f(x):g(x)=?}[/dispmath]

[dispmath]\begin{array}{l}
(2x^3-4x^2+6x-12):(x-2)=2x^2+6\\
\underline{-2x^3 \pm 4x^2}\\
\phantom{(2x^3-4x^2+}6x-12\\
\phantom{(2x^3-4x^2}\underline{-6x \mp 12}
\end{array}[/dispmath]
Ostatak pri dijeljenju je: a) [inlmath]0[/inlmath], b) [inlmath]12[/inlmath], c) [inlmath]x-2[/inlmath]

[dispmath]3.[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{l}
f(x)=x^3-2x^2+x-5\\
\underline{g(x)=x^2-x+2}
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{l}
\underline{(x^3-2x^2+x-5):(x^2-x+2)=x-1}\\
\phantom{x^3-}-x^2-x-5\\
\phantom{x^3-.}\underline{\mp x^2\mp x\mp 2}
\end{array}[/dispmath]
[inlmath]-2x-3[/inlmath]...ostatak pri dijeljenju


Trebalo bi mi objasnit koja je 'caka' ovo, zašto plus minus, kako dijelit, ostatak ???

Evo zasad ovaj prvi:

[inlmath]\left(4x^3+5x-21\right):\left(2x^2+3x+7\right)=[/inlmath]

Prvo posmatramo koliko se puta član s najvećim stepenom iz drugog polinoma sadrži u članu s najvećim stepenom iz prvog polinoma.
Znači, koliko se puta [inlmath]2x^2[/inlmath] sadrži u [inlmath]4x^3[/inlmath]? Odgovor je [inlmath]2x[/inlmath] puta.
Desno od znaka jednakosti pišemo [inlmath]2x[/inlmath]:

[inlmath]\left(4x^3+5x-21\right):\left(2x^2+3x+7\right)=2x[/inlmath]

Sada drugi polinom množimo tim rezultatom pa će on biti [inlmath]2x\left(2x^2+3x+7\right)=4x^3+6x^2+14x[/inlmath] i zapisujemo ga ispod prvog polinoma:

[inlmath]\left(4x^3+5x-21\right):\left(2x^2+3x+7\right)=2x[/inlmath]
[inlmath]4x^3+6x^2+14x[/inlmath]

Pa sad taj drugi polinom, što smo dobili množenjem sa [inlmath]2x[/inlmath], oduzimamo od prvog, tj. [inlmath]\left(4x^3+5x-21\right)-\left(4x^3+6x^2+14x\right)=-6x^2-9x-21[/inlmath] i zapisujemo ispod:

[inlmath]\left(4x^3+5x-21\right):\left(2x^2+3x+7\right)=2x[/inlmath]
[inlmath]\underline{4x^3+6x^2+14x}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{4x^3}-6x^2-9x-21[/inlmath]

I sad na njega primenjujemo isti postupak kao što smo primenili i na prvi polinom. Znači, posmatramo koliko se puta član s najvećim stepenom iz drugog polinoma sadrži u članu s najvećim stepenom iz tog novog polinoma.
Znači, koliko se puta [inlmath]2x^2[/inlmath] sadrži u [inlmath]-6x^2[/inlmath]? Odgovor je [inlmath]-3[/inlmath] puta.
Desno od znaka jednakosti pišemo [inlmath]-3[/inlmath]:

[inlmath]\left(4x^3+5x-21\right):\left(2x^2+3x+7\right)=2x-3[/inlmath]
[inlmath]\underline{4x^3+6x^2+14x}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{4x^3}-6x^2-9x-21[/inlmath]

Sada drugi polinom množimo tim rezultatom pa će on biti [inlmath]\left(-3\right)\left(2x^2+3x+7\right)=-6x^2-9x-21[/inlmath] i zapisujemo ga ispod tog novog polinoma:

[inlmath]\left(4x^3+5x-21\right):\left(2x^2+3x+7\right)=2x-3[/inlmath]
[inlmath]\underline{4x^3+6x^2+14x}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{4x^3}-6x^2-9x-21[/inlmath]
[inlmath]\phantom{4x^3}-6x^2-9x-21[/inlmath]

Sada izvršimo oduzimanje i vidimo da ćemo dobiti nula, tj. nema ostatka.

[inlmath]\left(4x^3+5x-21\right):\left(2x^2+3x+7\right)=2x-3[/inlmath]
[inlmath]\underline{4x^3+6x^2+14x}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{4x^3}-6x^2-9x-21[/inlmath]
[inlmath]\phantom{4x^3}\underline{-6x^2-9x-21}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{4x^3-6x^2-9x-}0[/inlmath]

Prema tome, rezultat deljenja ova dva polinoma je [inlmath]2x-3[/inlmath].

Da sada nismo dobili nulu, postupak bismo ponavljali sve dok s leve strane ne dobijemo polinom koji je manjeg stepena od stepena polinoma s desne strane. I taj polinom s leve strane, što je manjeg stepena od onog s desne strane, u tom slučaju bi predstavljao ostatak pri deljenju.

Sada kad si video postupak, bi mogao sam da pokušaš neki od preostalih zadataka?

A ove pluseve/minuse zaista ne kontam... Tim pre, što se sve ovo može sasvim lepo uraditi i bez njih.

Ako ih neko kapira, nek napiše ovde... Ili ti, blake, ako saznaš, tj. ako vam učiteljica bude objasnila, objasni nam i ti ovde...

Ma to je profesorica na ploči vjerojatno napisla kako kad imamo dva minusa kao predznak brojeva koji se oduzimaju zapravo drugi broj zbrajamo s prvim i dobijemo nulu...
Nije ni bitno, bitno je da je ovaj princip koji si ti napisa onaj koji je i ona u tom naletu objasnila, i to je točno i to je to.

Evo i ja zapeo na ovome. Jasno mi je ovo što je blake postavio, ali kako u ovoj situaciji? Ako može cijeli postupak:
[dispmath]x^3:x^2+x+1[/dispmath]
?

eseper je napisao:Evo i ja zapeo na ovome. Jasno mi je ovo što je blake postavio, ali kako u ovoj situaciji? Ako može cijeli postupak:
[dispmath]x^3:x^2+x+1[/dispmath]
?

Ka šta je Daniel već objasnia, gledaš koliko puta najveći član prvog polinoma (djeljenika) sadrži najveći član drugog polinoma (djeljitelja) i to onda zapišeš u rezultat, dakle;
[inlmath]x^3:x^2+x+1=x\qquad[/inlmath] (jer [inlmath]x\cdot x^2=x^3[/inlmath])

Sad množiš taj rezulat [inlmath]'x'[/inlmath] s drugim polinom i pišeš ispod prvog polinoma rezultat tog umnoška. Kad to napraviš, oduzimaš taj umnožak od prvog polinoma;
[inlmath]\phantom{(-)}\quad x^3\quad : \quad x^2+x+1=x[/inlmath]
[inlmath](-)\underline{\quad x^3+x^2+x\quad\quad\quad}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{(-)x^3}\quad -x^2-x\quad[/inlmath]

I opet gledaš, koliko puta stane u najveći član dobivenog rezultata [inlmath]-x^2-x \quad[/inlmath] najveći član drugog polinoma (djeljitelja), a odgovor je [inlmath]-1[/inlmath] puta. Pa to i zapišeš u rezultat. I taj ćeš [inlmath]-1[/inlmath] opet množit s drugim polinomom i oduzimat od prvog poviše.
[inlmath]\phantom{(-)}\quad x^3\quad : \quad x^2+x+1=x[/inlmath]
[inlmath](-)\underline{\quad x^3+x^2+x\quad\quad\quad}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{(-)x^3}\quad -x^2-x\quad[/inlmath]
[inlmath](-)\underline{\phantom{x^3}\quad -x^2-x-1}[/inlmath]
[inlmath]\quad 1[/inlmath] je ostatak

Sve je upravo ovako kako ti je blake napisao. Dodao bih još samo jednu stvar koju sam zaboravio da napomenem kada sam blake-u objašnjavao postupak, a to je da nije zgoreg na kraju izvršiti proveru tako što ćemo dobijeni rezultat pomnožiti deliocem i ako je sve u redu, kao rezultat tog množenja treba da dobijemo deljenik umanjen za vrednost ostatka. Biće ovo razumljivije na ovom konkretnom primeru.

Dobili smo rezultat [inlmath]\left(x-1\right)[/inlmath], njega množimo deliocem, [inlmath]\left(x^2+x+1\right)[/inlmath]:

[inlmath]\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)[/inlmath]

Ovo čak ne moramo ni množiti „ručno“, jer odmah vidimo da ovaj oblik predstavlja formulu za razliku kubova, pa će proizvod ova dva faktora biti upravo ta razlika kubova, tj.

[inlmath]x^3-1[/inlmath]

a to upravo i predstavlja deljenik, [inlmath]x^3[/inlmath], umanjen za vrednost ostatka, [inlmath]1[/inlmath], čime je potvrđena ispravnost dobijenog rezultata.

Hvala ekipa.