Prijemni ispit FON – 29. jun 2021.
11. zadatak

Ovaj jedan zadatak sam riješio dovoljno da dobijem tačan odgovor ali jedan dio me malo muči

U trouglu [inlmath]ABC[/inlmath], tačka [inlmath]D[/inlmath] je podnožje normale iz temena [inlmath]C[/inlmath] na stranicu [inlmath]AB[/inlmath]. Ako je [inlmath]|AD|=2\text{ cm}[/inlmath], [inlmath]|CD|=4\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]|BD|=8\text{ cm}[/inlmath], tada je zbir dužina poluprečnika kružnica opisanih oko trouglova [inlmath]ABC[/inlmath], [inlmath]ACD[/inlmath] i [inlmath]BCD[/inlmath] jednak (u [inlmath]\text{cm}[/inlmath]):
[inlmath]A)\;5+3\sqrt5;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;1+5\sqrt5;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;3+4\sqrt5;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;9+\sqrt5;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;7+2\sqrt5[/inlmath]

Izračunavši hipotenuze trouglova [inlmath]AC=2\sqrt5[/inlmath] i [inlmath]BC=4\sqrt5[/inlmath] poluprečnici kružnica opisanih oko [inlmath]ACD[/inlmath] i [inlmath]BCD[/inlmath] su bili laki za naći ([inlmath]\sqrt5[/inlmath] i [inlmath]2\sqrt5[/inlmath])

To je dovoljno za tačan odgovor jer samo odgovor pod [inlmath]A)[/inlmath] ima [inlmath]3\sqrt5[/inlmath] u zbiru, ali ne mogu naći poluprečnik [inlmath]5[/inlmath] trougla [inlmath]ABC[/inlmath]

Bio bih zahvalan ako bi me neko prosvijetlio u odgovorima

[inlmath]P=\frac{abc}{4R}[/inlmath] ([inlmath]R[/inlmath] - poluprečnik opisane kružnice)

Možda bi nešto kraći način bio preko sinusne teoreme. Nađeš sinus ugla kod temena [inlmath]A[/inlmath] (ili sinus ugla kod temena [inlmath]B[/inlmath], svejedno) pa onda sinusna teorema koja kaže [inlmath]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R[/inlmath], gde je [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik opisane kružnice.

djurovic_f je napisao:To je dovoljno za tačan odgovor jer samo odgovor pod [inlmath]A)[/inlmath] ima [inlmath]3\sqrt5[/inlmath] u zbiru, ali ne mogu naći poluprečnik [inlmath]5[/inlmath] trougla [inlmath]ABC[/inlmath]

Interesovalo bi me na osnovu čega si zaključio da poluprečnik kružnice opisane oko [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] ne bi mogao biti npr. [inlmath]1+2\sqrt5[/inlmath], što bi u zbiru dalo odgovor pod [inlmath]B)[/inlmath]?