Centar kružnice upisane u pravougli trougao [inlmath]ABC[/inlmath] udaljen je od temena [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] redom [inlmath]\sqrt5[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{10}[/inlmath]. Izračunati dužine kateta trougla.

Ja sam ovu temu stavio u "Geometrija" i ovde ću stavljati zadatke koji mi ne budu bili jasni iz ove oblasti "Primena trigonometrije u geometriji"

U redu je to... Nego, opet ne reče kakva ti je vrsta pomoći potrebna u ovom zadatku?

Evo kako bi se ovo radilo...


[dispmath]\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{\sqrt 5}\\
\sin\frac{\beta}{2}=\frac{r}{\sqrt{10}}[/dispmath][dispmath]\frac{r}{\sqrt{10}}=\sin\frac{\beta}{2}=\sin\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\alpha}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt 2}{2}\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{\sqrt 2}{2}\sin\frac{\alpha}{2}=\\
=\frac{\sqrt 2}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sqrt 2}{2}\left(\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}}-\sin\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sqrt 2}{2}\left[\sqrt{1-\left(\frac{r}{\sqrt 5}\right)^2}-\frac{r}{\sqrt 5}\right][/dispmath]
Ovde smo [inlmath]\cos\frac{\alpha}{2}[/inlmath] mogli bez problema pisati kao [inlmath]\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}}[/inlmath], ne vodeći računa o znaku ispred korena, jer znamo da su kod pravouglog trougla i [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath], a samim tim i [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\beta}{2}[/inlmath], oštri uglovi, pa su i njihovi sinusi i kosinusi uvek pozitivni, tako da ispred korena može doći jedino plus.
[dispmath]\frac{r}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt 2}{2}\left[\sqrt{1-\left(\frac{r}{\sqrt 5}\right)^2}-\frac{r}{\sqrt 5}\right]\quad\Rightarrow\quad\cdots\quad\Rightarrow\quad\underline{r=1}[/dispmath][dispmath]a=\sqrt{\left(\sqrt{10}\right)^2-r^2}+r=4,\quad b=\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^2-r^2}+r=3[/dispmath]

U proizvoljnom trouglu odrediti [inlmath]\displaystyle\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}[/inlmath].

Obelezio sam ugao kod temena [inlmath]A[/inlmath] sa [inlmath]\alpha[/inlmath], ugao kod temena [inlmath]B[/inlmath] sa [inlmath]\beta[/inlmath], ugao kod temena [inlmath]C[/inlmath] sa [inlmath]\gamma[/inlmath]
Primenio sam sinusnu teoremu:
[dispmath]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}[/dispmath]
Ugao [inlmath]\gamma[/inlmath] je jednak [inlmath]\gamma=180-(\alpha+\beta)[/inlmath], pa je [inlmath]\sin\gamma=\sin\bigl(180-(\alpha+\beta)\bigr)\;\sin(180-\bigl(\alpha+\beta)\bigr)=\sin(\alpha+\beta)[/inlmath]
Na kraju zamenom dobijamo:
[dispmath]\sin(\alpha+\beta)=\frac{c}{a}\cdot\sin\alpha[/dispmath] Kako bi se dalje i da li je ovo dobro?

U zadatku bi moralo biti rečeno u funkciji kojih elemenata trougla treba prikazati zadati izraz. Možemo ga prikazati u funkciji dva ugla trougla, možemo ga prikazati u funkciji dve stranice i ugla, možemo ga prikazati u funkciji sve tri stranice trougla...

Ja sad mogu samo da nagađam, ali ako ga je, recimo, potrebno prikazati u funkciji sve tri stranice trougla, onda brojilac napišeš tako kako si ga i napisao, tj. [inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\left(\pi-\gamma\right)=\sin\gamma[/inlmath], ali sad to [inlmath]\sin\gamma[/inlmath] napišeš preko sinusne teoreme kao [inlmath]\frac{c}{2R}[/inlmath]. Prema tome, brojilac je [inlmath]\frac{c}{2R}[/inlmath].

Imenilac prvo rastaviš po formuli za sinus razlike,
[dispmath]\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta[/dispmath]
a zatim na sinuse primeniš sinusnu, a na kosinusne kosinusnu teoremu:

[inlmath]\sin\alpha=\frac{a}{2R}\\
\sin\beta=\frac{b}{2R}\\
b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\;\Rightarrow\;\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\
a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\;\Rightarrow\;\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/inlmath]
[dispmath]\sin\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\cancel a}{2R}\cdot\frac{a^2+c^2-b^2}{2\cancel ac}-\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cancel bc}\cdot\frac{\cancel b}{2R}=\\
=\frac{1}{4Rc}\left(a^2+\cancel{c^2}-b^2-b^2-\cancel{c^2}+a^2\right)=\frac{2a^2-2b^2}{4Rc}=\frac{a^2-b^2}{2Rc}[/dispmath]
I onda je dati izraz
[dispmath]\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)}{\sin\left(\alpha-\beta\right)}=\frac{\frac{c}{\cancel{2R}}}{\frac{a^2-b^2}{\cancel{2R}c}}=\frac{c^2}{a^2-b^2}[/dispmath]
ali, opet naglašavam da je ovo samo moja pretpostavka da izraz treba prikazati u funkciji stranica trougla...

Pa uz zadatak je dato i nekoliko resenja i ona su u funkciji stranica, a u samom zadatku je receno "proizvoljan trougao sa uglovima [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] i sa stranicama [inlmath]a[/inlmath] [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] " . Izvinjavam se sto nisam postavio zadatak kako treba.

Opušteno... Bitno da je sad sve jasno...