1) Konstruisi trapez ako su poznati:
a) kraci, ugao izmedju krakova i ugao izmedju dijagonala
b) [inlmath]a+b[/inlmath], visina, uglovi: [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath]
v) [inlmath]a-b[/inlmath], visina, duzina dijagonala

2) Razdeliti proizvoljan trougao na [inlmath]5[/inlmath] tupouglih trouglova sa jednakim tupim uglom. Koliko iznose ti tupi uglovi?

Nina je napisao:1) Konstruisi trapez ako su poznati:
b) [inlmath]a+b[/inlmath], visina, uglovi: [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath]

Pošto nam je dat zbir osnovica [inlmath]a+b[/inlmath], analiziramo trapez kome je stranica [inlmath]a[/inlmath] produžena za dužinu [inlmath]b[/inlmath], tako da mu dužina donje osnovice bude [inlmath]a+b[/inlmath], a kome su kraci pod istim uglom u odnosu na osnovu kao i kod originalnog trapeza [inlmath]\left(\alpha,\beta\right)[/inlmath]:


Pošto je [inlmath]BB'C'C[/inlmath] paralelogram, samim tim će i gornja osnovica [inlmath]b[/inlmath] biti produžena za iznos dužine [inlmath]b[/inlmath], tj. njena dužina će biti udvostručena. Ovaj podatak koristimo pri konstrukciji trapeza.

Povučemo duž dužine [inlmath]a+b[/inlmath] i njene krajnje tačke označimo sa [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B'[/inlmath]. U tački [inlmath]A[/inlmath], normalno na duž [inlmath]\overline{AB'}[/inlmath], povučemo duž dužine [inlmath]h[/inlmath]. Na drugom kraju te duži konstruišemo pravu [inlmath]b[/inlmath] normalnu na tu duž, tj. paralelnu sa duži [inlmath]\overline{AB'}[/inlmath]. Na toj pravoj će se nalaziti gornja osnovica trapeza. U tački [inlmath]A[/inlmath] zatim konstruišemo ugao [inlmath]\alpha[/inlmath] u odnosu na duž [inlmath]\overline{AB'}[/inlmath]. Presek kraka tog ugla i prave [inlmath]b[/inlmath] biće teme [inlmath]D[/inlmath] trapeza. Zatim u tački [inlmath]B'[/inlmath] konstruišemo ugao [inlmath]\beta[/inlmath] u odnosu na duž [inlmath]\overline{AB'}[/inlmath]. Presek kraka tog ugla i prave [inlmath]b[/inlmath] biće tačka [inlmath]C'[/inlmath]. Duž [inlmath]\overline{DC'}[/inlmath], kao što smo rekli, ima dužinu [inlmath]2b[/inlmath]. Odredimo središte duži [inlmath]\overline{DC'}[/inlmath] (konstruišući simetralu te duži) i njeno središte biće teme [inlmath]C[/inlmath] trapeza. Iz tačke [inlmath]C[/inlmath] povučemo pravu paralelnu duži [inlmath]B'C'[/inlmath] i presek te prave s duži [inlmath]AB'[/inlmath] biće teme [inlmath]B[/inlmath] trapeza.

Nina je napisao:v) [inlmath]a-b[/inlmath], visina, duzina dijagonala

Posmatramo već konstruisan trapez [inlmath]ABCD[/inlmath].


Iz temena [inlmath]D[/inlmath] povučemo pravu paralelnu s krakom trapeza [inlmath]BC[/inlmath] i presek te prave s osnovicom [inlmath]AB[/inlmath] obeležimo sa [inlmath]A'[/inlmath]. Pošto je [inlmath]A'BCD[/inlmath] paralelogram, duž [inlmath]\overline{A'B}[/inlmath] će biti jednake dužine kao gornja osnovica [inlmath]b[/inlmath], a duž [inlmath]\overline{AA'}[/inlmath], kao razlika duži [inlmath]\overline{AB}[/inlmath] (koja je jednaka [inlmath]a[/inlmath]) i duži [inlmath]\overline{A'B}[/inlmath] (koja je jednaka [inlmath]b[/inlmath]) biće [inlmath]a-b[/inlmath], a ta dužina je data. Sada iz temena [inlmath]C[/inlmath] povučemo pravu koja je paralelna dijagonali trapeza [inlmath]BD[/inlmath] i presek te prave s pravom osnovice trapeza obeležimo sa [inlmath]B'[/inlmath]. Pošto je [inlmath]BB'CD[/inlmath] paralelogram, duž [inlmath]BB'[/inlmath] će biti jednake dužine kao i gornja osnovica trapeza [inlmath]b[/inlmath], tj. biće jednake dužine kao i duž [inlmath]\overline{A'B}[/inlmath]. To znači da će duž [inlmath]\overline{A'B'}[/inlmath] biti dužine [inlmath]2b[/inlmath]. Pošto je [inlmath]\overline{AA'}=a-b[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{2}\overline{A'B'}=b[/inlmath], a iz toga sledi da je [inlmath]\overline{AA'}+\frac{1}{2}\overline{A'B'}=\left(a-b\right)+b=a[/inlmath], a to je dužina donje osnovice trapeza, sledi da će tačka [inlmath]B[/inlmath] biti u središtu duži [inlmath]\overline{A'B'}[/inlmath].

Konstrukcija:
Prvo povučemo pravu [inlmath]a[/inlmath] koja će sadržati donju osnovicu trapeza i na njoj označimo tačku [inlmath]A[/inlmath]. Na toj pravoj odmerimo duž [inlmath]\overline{AA'}[/inlmath] dužine [inlmath]a-b[/inlmath]. U tački [inlmath]A[/inlmath], normalno na pravu [inlmath]a[/inlmath], povučemo duž dužine [inlmath]h[/inlmath]. Na drugom kraju te duži konstruišemo pravu [inlmath]b[/inlmath] normalnu na tu duž, tj. paralelnu s pravom [inlmath]a[/inlmath]. Na toj pravoj će se nalaziti gornja osnovica trapeza. Iz temena [inlmath]A[/inlmath] šestarom odmerimo dužinu dijagonale [inlmath]AC[/inlmath]. U preseku s pravom [inlmath]b[/inlmath] nalaziće se tačka [inlmath]C[/inlmath] trapeza. Iz tačke [inlmath]C[/inlmath] šestarom odmerimo dužinu dijagonale [inlmath]BD[/inlmath]. U preseku s pravom [inlmath]a[/inlmath] nalaziće se tačka [inlmath]B'[/inlmath]. Odredimo središte duži [inlmath]\overline{A'B'}[/inlmath] (konstruišući simetralu te duži) i njeno središte biće tačka [inlmath]B[/inlmath] trapeza. Tačku [inlmath]D[/inlmath] trapeza sada možemo naći bilo odmeravanjem dužine [inlmath]\overline{A'B}[/inlmath] iz tačke [inlmath]C[/inlmath] na pravoj [inlmath]b[/inlmath], bilo povlačenjem iz tačke [inlmath]B[/inlmath] prave paralelne sa [inlmath]\overline{B'C}[/inlmath] i njenim presekom s pravom [inlmath]b[/inlmath], bilo odmeravanjem šestarom dužine dijagonale [inlmath]BD[/inlmath] iz tačke [inlmath]B[/inlmath] i njenim presekom s pravom [inlmath]b[/inlmath].

Nina je napisao:2) Razdeliti proizvoljan trougao na [inlmath]5[/inlmath] tupouglih trouglova sa jednakim tupim uglom. Koliko iznose ti tupi uglovi?

Pokazaću rešenje s tupim uglom od [inlmath]120^\circ[/inlmath]. Ne tvrdim da ne postoji još neko rešenje, ali jedino ovo mi zasad pada na pamet. Ima, doduše, ograničenje, da se ne može primeniti na jednakostraničan trougao, koji bi predstavljao neki granični slučaj.


Uočimo teme trougla takvo da važi da je kod jednog od preostala dva temena ugao manji od [inlmath]60^\circ[/inlmath], a kod drugog veći od [inlmath]60^\circ[/inlmath] (može se dokazati da u svakom trouglu, osim u jednakostraničnom, uvek postoji jedan ugao manji i jedan veći od [inlmath]60^\circ[/inlmath]). Zatim iz tog uočenog temena povučemo duž prema naspramnoj stranici, pod [inlmath]120^\circ[/inlmath] u odnosu na naspramnu stranicu. Zatim iz temena koje je naspramno na tu duž povučemo opet duž pod uglom od [inlmath]120^\circ[/inlmath] u odnosu na nju. Dobili smo dva tupougla trougla s tupim uglom od [inlmath]120^\circ[/inlmath] i jedan jednakostraničan trougao. Sada taj jednakostraničan trougao izdelimo na tri tupougla trougla s tupim uglom od [inlmath]120^\circ[/inlmath] tako što iz sva tri njegova temena povučemo duži ka njegovom centru. Ukupno smo dobili pet tupouglih trouglova s tupim uglom od [inlmath]120^\circ[/inlmath].

Jes' da je matora tema, al' možda nekom budu od koristi i animacije ovih konstrukcija:

Nina je napisao:1) Konstruisi trapez ako su poznati:
b) [inlmath]a+b[/inlmath], visina, uglovi: [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath]

Nina je napisao:v) [inlmath]a-b[/inlmath], visina, duzina dijagonala