Trapez – zadatak sa prijemnog na FTN-u 2014.

od **Odd one out** » Utorak, 08. Jul 2014, 19:38

Ja stvarno nisam imao pojma sta ovde da uradim
Neka su [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath] osnovice trapeza [inlmath]ABCD[/inlmath], pri cemuj e kraca osnovica [inlmath]CD=8[/inlmath] ,krak [inlmath]AD=9[/inlmath] i neka je ugao [inlmath]CDA[/inlmath] dva puta veci od ugla [inlmath]ABC[/inlmath]:Izracunati duzinu sonovice [inlmath]AB[/inlmath] trapeza [inlmath]ABCD[/inlmath],

-ukoliko je u pomenutom trapezu [inlmath]ABCD[/inlmath] ugao [inlmath]ABC=30^\circ[/inlmath] izracunati krak [inlmath]BC[/inlmath].

ja sam povukao dijagonalu pa probao preko kosinusne,nista od toga nije bilo,uglovi su mi jako cudni,2 sata sam mozgao nisam ga skontao

od **Milovan** » Utorak, 08. Jul 2014, 20:58

Neka je [inlmath]AB=a[/inlmath], [inlmath]BC=d[/inlmath], a ugao [inlmath]\angle BAD=\alpha[/inlmath].

Iz kosinusne teoreme primenjene redom na trouglove [inlmath]\triangle ACD[/inlmath] i [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] sledi da je:
[dispmath]8^2+9^2-2\cdot 8\cdot 9\cos 60^\circ=73=a^2+d^2-2ad\cos 30^\circ[/dispmath][dispmath]a^2+d^2-ad\sqrt 3=73[/dispmath]
Visina trapeza izražena na dva načina:
[dispmath]9\sin\alpha=\frac{d}{2}[/dispmath]
Takođe, važi i:
[dispmath]a=8+9\cos\alpha+d\cos 30^\circ=8+9\cos\alpha+d\frac{\sqrt{3}}{2}[/dispmath]
Iz poslednje jednakosti i [inlmath]9\sin\alpha=\frac{d}{2}[/inlmath] se svođenjem na osnovni trigonometrijski identitet ([inlmath]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/inlmath]) može eliminisati ugao [inlmath]\alpha[/inlmath].

Time, uz jednačinu [inlmath]a^2+d^2-ad\sqrt 3=73[/inlmath] dobijaš sistem sa dve nepoznate [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath], čijim se rešavanjem dobije da je dužina [inlmath]a=17[/inlmath], a [inlmath]d=9\sqrt{3}[/inlmath].

Inače, dužina osnovice čak i ne zavisi od ugla [inlmath]\angle ABC[/inlmath]. Pošto je taj ugao naveden kasnije, možda i ne sme da se koristi za računanje osnovice, pa ću navesti kako je možemo izračunati bez uzimanja konkretne vrednosti za taj ugao. Nacrtajmo simetralu ugla [inlmath]\angle ADC[/inlmath]:

: trapez matemanija 1.png (3.31 KiB) Pogledano 1377 puta

Uglovi obeleženi na slici su jednaki. Kako je [inlmath]\angle EDC=\angle EBC[/inlmath] i kako je [inlmath]EB[/inlmath] paralelno sa [inlmath]CD[/inlmath], sledi da je četvorougao [inlmath]BCDE[/inlmath] paralelogram i važi [inlmath]CD=EB=8[/inlmath].

Dužinu [inlmath]AE[/inlmath] možemo naći znajući da je trougao [inlmath]\triangle AED[/inlmath] jednakokrak, pa je [inlmath]AE=AD=9[/inlmath].

Najzad, [inlmath]AB=AE+EB=8+9=17[/inlmath]

Krak se ovom logikom može izračunati i koristeći se sa [inlmath]ED=CB[/inlmath]. Kako je trougao [inlmath]\triangle AED[/inlmath] jednakokrak (sa uglom od [inlmath]120^\circ[/inlmath] između krakova), važi [inlmath]BC^2=9^2+9^2-2\cdot 9\cdot 9\cos 120^\circ=3\cdot 9^2[/inlmath], pa je [inlmath]BC=9\sqrt{3}[/inlmath]

od **Daniel** » Sreda, 09. Jul 2014, 09:46

Pokazao bih još jedan način za rešavanje ovog zadatka.

Projekciju kraka [inlmath]AD[/inlmath] na osnovicu [inlmath]AB[/inlmath] označimo sa [inlmath]x[/inlmath], a projekciju kraka [inlmath]BC[/inlmath] na osnovicu [inlmath]AB[/inlmath] označimo sa [inlmath]y[/inlmath]; ugao kod temena [inlmath]B[/inlmath] označimo sa [inlmath]\beta[/inlmath], a ugao kod temena [inlmath]D[/inlmath] označimo sa [inlmath]\delta[/inlmath]; visinu trapeza označimo sa [inlmath]h[/inlmath]:

: trapez.png (1.42 KiB) Pogledano 1360 puta

a)
Odredimo [inlmath]x[/inlmath] u funkciji ugla [inlmath]\beta[/inlmath]:
[dispmath]x=9\cos\left(180^\circ-\delta\right)=-9\cos\delta=-9\cos 2\beta=9\sin^2\beta-9\cos^2\beta[/dispmath]
Zatim odredimo i [inlmath]y[/inlmath] u funkciji ugla [inlmath]\beta[/inlmath]:
[dispmath]y=\frac{h}{\mathrm{tg}\:\beta}=\frac{9\sin\left(180^\circ-\delta\right)}{\mathrm{tg}\:\beta}=\frac{9\sin\delta}{\mathrm{tg}\:\beta}=\frac{9\sin 2\beta}{\mathrm{tg}\:\beta}=9\cdot 2\cancel{\sin\beta}\cos\beta\frac{\cos\beta}{\cancel{\sin\beta}}=18\cos^2\beta[/dispmath]
Odatle nađemo veću osnovicu [inlmath]AB[/inlmath]:
[dispmath]AB=x+CD+y=9\sin^2\beta-9\cos^2\beta+CD+18\cos^2\beta=\underbrace{9\sin^2\beta+9\cos^2\beta}_9+CD=9+8=17[/dispmath]

b)
Kada je poznato [inlmath]\beta=30^\circ[/inlmath], uvrštavamo tu vrednost u već pod a) napisane izraze:
[dispmath]\beta=30^\circ\quad\Rightarrow\quad\delta=60^\circ[/dispmath][dispmath]x=-9\cos 60^\circ=-\frac{9}{2}[/dispmath][dispmath]y=18\sin^230^\circ=18\cdot\frac{3}{4}=\frac{27}{2}[/dispmath][dispmath]BC=\sqrt{h^2+y^2}=\sqrt{AD^2-x^2+y^2}=\sqrt{AD^2-\frac{9^2}{4}+\frac{27^2}{4}}=\\=\sqrt{AD^2+\frac{9^2}{4}\left(-1+3^2\right)}=\sqrt{9^2+2\cdot 9^2}=9\sqrt{3}[/dispmath]

Trapez – zadatak sa prijemnog na FTN-u 2014.

Trapez – zadatak sa prijemnog na FTN-u 2014.

Sharuj ovu temu na:

Re: Trapez – zadatak sa prijemnog na FTN-u 2014.

Re: Trapez – zadatak sa prijemnog na FTN-u 2014.

Ko je OnLine