Mislio sam, smaracki za vas zbog latex-a, jer ima dosta da se pise

Malo copy/paste, malo rutina... I napiše se to vrlo brzo.

Hahaha, ja se ne bunim, ako vas ne mrzi, meni koristi

blake je napisao:

maxaa je napisao:14. Ako je [inlmath]\alpha[/inlmath] oštar ugao između prostornih dijagonala kocke, tada je [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;\frac{\sqrt2}{2}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;\frac{\sqrt2}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(D)}\;2\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;3\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

Ovde nisam siguran da li se prostorne dijagonale polove, pokusao sam na taj nacin da uradim ali ne dobijam dobro resenje.

Primjetiš da se traži kut [inlmath]\alpha[/inlmath] jer je to oštri kut dijagonala, za razliku od [inlmath]\beta[/inlmath]...
I ideš po poučku kosinusa
[dispmath]a^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{2}\cos\alpha[/dispmath][dispmath]\cos\alpha=\frac{1}{3}[/dispmath] Pa će iz toga proizaći da je [inlmath]\text{tg }\alpha=2.828427125=2\sqrt2[/inlmath]

Kvadriraš kosinus i oduzmes od jedan. Dobićeš kvadrat sinusa ugla, u ovom slucaju [inlmath]\frac{8}{9}[/inlmath]. Korenujes, iz uslova zadatka znas da je ugao oštar, pa uzimaš pozitvnu vrednost, i dobiješ [inlmath]\frac{2\sqrt2}{3}[/inlmath]. Podeliš sinus i kosinus i dobijaš [inlmath]\tan x=2\sqrt2[/inlmath]

Seku se prostorne dijagonale kocke.
Takođe i prostorne dijagonale kvadra.
Čak i bilo kog paralelepipeda.

^ Verovatno si hteo reći – polove se.

Elem, super je što ste „iskopali“ ovu matoru temu. Jer, tek sada nakon 12 godina, videh da se ovaj 14. zadatak može rešiti i dosta elegantnije, preko tangensa dvostrukog ugla. Dakle,

maxaa je napisao:14. Ako je [inlmath]\alpha[/inlmath] oštar ugao između prostornih dijagonala kocke, tada je [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;\frac{\sqrt2}{2}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;\frac{\sqrt2}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(D)}\;2\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;3\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

Dijagonale kocke čija je ivica [inlmath]a[/inlmath] istovremeno su i dijagonale pravougaonika čije su stranice [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]a\sqrt2[/inlmath]:


Kako je [inlmath]\alpha=180^\circ-2\beta[/inlmath] (zbir uglova u trouglu), a [inlmath]\text{tg }\beta=\frac{\cancel a\sqrt2}{\cancel a}=\sqrt2[/inlmath], to je:
[dispmath]\text{tg }\alpha=\text{tg }(180^\circ-2\beta)=-\text{tg }(2\beta)=-\frac{2\text{ tg }\beta}{1-\text{tg}^2\beta}=-\frac{2\sqrt2}{1-2}=2\sqrt2[/dispmath]