MATEMANIJA

tetive [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath] kruga [inlmath]k[/inlmath] su jednake a [inlmath]AD[/inlmath] seče [inlmath]BC[/inlmath] u [inlmath]E[/inlmath]. Ako je [inlmath]AC=12[/inlmath], [inlmath]AE=8[/inlmath] naći [inlmath]AD[/inlmath], meni sad tu nije jasno kako je trougao [inlmath]ABD[/inlmath] sličan trouglu [inlmath]CED[/inlmath] ? posto imam postupak ali ne kapiram taj deo

Trouglovi [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle CED[/inlmath] u opštem slučaju nisu slični, što se može i dokazati ovim kontraprimerom:


Ako se tačka [inlmath]D[/inlmath] izabere negde na simetrali duži [inlmath]BC[/inlmath], tada će trougao [inlmath]\triangle CED[/inlmath] biti pravougli, što za trougao [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] ne mora da važi, kao što se sa ove slike i vidi.

---

Druga stvar bi bila da je u tekstu zadatka rečeno da tačka [inlmath]D[/inlmath] pripada kružnici [inlmath]k[/inlmath]. Tada bi ova dva trougla zaista bila slična. Zbog toga bih zaista zamolio da objavljujete tačne tekstove zadataka, kako ne bismo morali da nagađamo. Dakle, pod pretpostavkom da se tačka [inlmath]D[/inlmath] nalazi na kružnici [inlmath]k[/inlmath]:


Pošto su uglovi [inlmath]\angle BAD[/inlmath] i [inlmath]\angle BCD[/inlmath] uglovi nad istom tetivom, tj. nad tetivom [inlmath]BD[/inlmath], ti uglovi će biti jednaki:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\angle BAD=\angle BCD\\
\angle BCD=\angle ECD
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\angle BAD=\angle ECD[/dispmath]
Takođe, pošto je [inlmath]\angle BDA[/inlmath] ugao nad tetivom [inlmath]AB[/inlmath], a [inlmath]\angle ADC[/inlmath] ugao nad tetivom [inlmath]AC[/inlmath], a tetive [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath] su jednake, to će biti jednaki i uglovi [inlmath]\angle BDA[/inlmath] i [inlmath]\angle ADC[/inlmath]:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\angle BDA=\angle ADC\\
\angle ADC=\angle EDC
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\angle BDA=\angle EDC[/dispmath]
Pošto trouglovi [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle CED[/inlmath] imaju dva para jednakih uglova, zaključujemo da su ti trouglovi slični.

ahm zahvaljujemnije mi palo na pamet da su uglovi nad katetama koje su iste duzine isti, a nije zadatak tako glasi kako sam ga napisao samo sam ja kopirao zadatke sa priprema na faksu, pa su taj deo valjda rekli usmeno