MATEMANIJA

Juče sam se pitao kako da izvedem formulu za površinu omotača kupe i našao sasvim logično objašnjenje, ali sam se danas zapitao kako da to uradim za zarubljenu kupu.

Naime, primetio sam da formula, u neku ruku, predstavlja zbir površina omotača kupa sa dve različite baze, s tim da su te baze zapravo mala i velika baza zarubljene kupe.
[dispmath]M=\pi\left(R_1+R_2\right)S=R_1\pi S+R_2\pi S[/dispmath]
To mi baš i nije jasno. Površina omotača kupe čija bi baza bila velika baza zarubljene kupe bi tehnički bila i veća od površine omotača zarubljene kupe. Dakle, na prvi pogled, rekao bih da bi tu trebalo da se provuče operacija oduzimanja, ali ipak se sabira.

Može neko objašnjenje? Baš me zanima kako se ovo izvlači.
(malo sam bold-ovao, da ne dođe do zbunjivanja)

Oduzimanje bismo imali kada bi sa [inlmath]S[/inlmath] bila označena izvodnica pune kupe čiji je poluprečnik osnove [inlmath]R_1[/inlmath]. Ali, u formuli za površinu omotača zarubljene kupe, koja se inače koristi, sa [inlmath]S[/inlmath] je označena izvodnica zarubljene kupe. Zbog toga imamo sabiranje, tj. [inlmath]M=\pi\left(R_1+R_2\right)S[/inlmath], što i nije nelogično, budući da ovo [inlmath]S[/inlmath] sada nije isto što i ono [inlmath]S[/inlmath] koje figuriše u formulama za površine omotača velike i male kupe, [inlmath]\pi R_1S[/inlmath] i [inlmath]\pi R_2S[/inlmath].

Da, da, primećujem svoju grešku u razmišljanju. Čak mi se čini da moja formula i ne može imati smisla.

Ako uzmemo u obzir da je [inlmath]S[/inlmath] izvodnica pune kupe, zar onda ova manja baza ne formira omotač daleko veće površine od onoga što sam mislio da treba oduzeti od površine omotača kupe s većom bazom?

Tvoja formula ima smisla, ako [inlmath]S[/inlmath] predstavlja izvodnicu pune kupe, čiji bi vrh, dakle, bio u preseku produžetaka izvodnica te zarubljene kupe.

Ako možeš da pojasniš pitanje – kad kažeš da manja baza formira omotač, da li pod omotačem podrazumevaš omotač pune kupe s tom bazom, ili podrazumevaš omotač zarubljene kupe čija je to manja baza?

E, ovako, moja prva ideja je bila da koristim izvodnicu pune kupe. A ova o kojoj ti pričaš, pretpostavljam da odgovara drugom slučaju na slici.

Evo zbog čega mi se čini da moja ideja nema smisla. Ako bismo iskoristili izvodnicu pune kupe, pogledaj u prvom primeru šta bismo dobili za omotač kupe sa manjom bazom (ovde mi ni oduzimanje ne pomaže).

Je l' ovaj drugi slučaj odgovara onome što si ti rekao (sabiranje)?

Istina, u pravu si – ako bismo radili preko razlike omotača, morali bismo pisati [inlmath]M=\pi\left(R_1S_{\color{red}1}-R_2S_{\color{red}2}\right)[/inlmath], tj. koristiti različite oznake za izvodnicu veće i izvodnicu manje kupe – zaista nzm kako mi je to promaklo, ali bitno da je greška uočena i ispravljena.
Sorry zbog zabune.

Da, drugi deo slike se odnosi na onu formulu o kojoj sam govorio, u kojoj figuriše sabiranje.

Daniel je napisao:Sorry zbog zabune.

Ma, nema problema!


Opet vidim jednu nelogičnost. Dakle, formula [inlmath]M=\pi\left(r+R\right)S[/inlmath] se odnosi na drugi slučaj. Ali ja sam sliku slučajno nacrtao tako da izgleda kao da je sve u najboljem redu. Šta ćemo raditi kad se ovo dogodi?

A, pa, nije ti dobra slika. Ova desna kupa na slici ti ima bazu podudarnu manjoj bazi zarubljene kupe levo.

Formula [inlmath]M=\pi\left(r+R\right)S[/inlmath] nam, zapravo, kaže da je površina omotača zarubljene kupe jednaka površini omotača pune kupe čija je izvodnica jednaka izvodnici zarubljene kupe, a čiji je poluprečnik baze jednak zbiru poluprečnika veće i manje baze zarubljene kupe.

Znači, levo nacrtaš zarubljenu kupu čija je izvodnica [inlmath]S[/inlmath], sa osnovama čiji su poluprečnici [inlmath]R[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath], a desno nacrtaš punu kupu ćija je izvodnica takođe [inlmath]S[/inlmath] a poluprečnik osnove joj je [inlmath]R+r[/inlmath] i omotači tih dveju kupa, zarubljene i pune, imaće jednake površine.