MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 1. jul 2003.
6. zadatak

Pozdrav. Evo ne da mi se rjesiti jedan zadatak sa prijemnog sa etf-a u Beogradu 2003. Sesti je zadatak po redu.

Povrsina trougla ciji su uglovi [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath] a [inlmath]R[/inlmath] poluprecnik opisanog kruga, jednaka je?
[inlmath]A)\;2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\frac{1}{2}R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\frac{1}{2}R^2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;R^2\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;2R^2\cos\alpha\sin(\beta+\gamma)[/inlmath]

Jedina formula koja meni pada na pamet a da ima veze sa ovim je [inlmath]P=\frac{abc}{4R}[/inlmath]. Ali ponovo ne znam kako da [inlmath]abc[/inlmath] izrazim preko uglova i poluprecnika opisanog kruga. Pa eto ako neko moze samo da mi da neke upute kako da krenem bio bih mu zahvalan.

Sinusna teorema ti daje vezu između stranice trougla, njoj naspramnog ugla i poluprečnika kružnice opisane oko tog trougla.

Hvala. Jasno mi je sada. Nisam znao za ovaj nacin izvodjenja sinusne teoreme ja kada sam izvodio crtao sam samo trougao bez kruznice i preko visine izjednacim odnose sinusa uglova i stranica i dobijem sinusnu teoremu.

Način izvođenja sinusne teoreme o kojem govoriš je nepotpun, jer se njime samo pokazuje da je [inlmath]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}[/inlmath], ali se ne pokazuje i da je vrednost tih razlomaka jednaka prečniku kružnice opisane oko trougla, a što je takođe tvrdnja sinusne teoreme.

U pravu si. Zato mi je bilo i ovo neobicno da je odnos jednak [inlmath]2R[/inlmath] mada nas je i u skoli ucilo ovako kako sam ja govorio cak nikada nisu ni spomenuli precnik opisane kruznice