MATEMANIJA

1.Dat je jednokostranican trougao [inlmath]ABC[/inlmath] ([inlmath]AC=BC[/inlmath]) ugao pri vrhu [inlmath]36^\circ[/inlmath].Na produzetkukraka [inlmath]AC[/inlmath] iz tacke [inlmath]A[/inlmath] izabrana je tacka [inlmath]D[/inlmath] takva da je [inlmath]AD=AB[/inlmath].Dokazati da je trougao [inlmath]BCD[/inlmath] jednokokraki.
2.Na svakoj stranici jednekostranicnog trougla [inlmath]ABC[/inlmath] nanesene su jednake duzi [inlmath]AA_1=BB_2=CC_1[/inlmath].Dokazi da trougao [inlmath]A_1B_1C_1[/inlmath] jednakostranican.
3.Simetrala ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] trougla [inlmath]ABC[/inlmath] gradi se simetralom ugla [inlmath]\gamma[/inlmath] ugao jednak uglu [inlmath]\frac{\beta}{2}[/inlmath].Dokazati.

dalila je napisao:1.Dat je jednokostranican trougao [inlmath]ABC[/inlmath] ([inlmath]AC=BC[/inlmath]) ugao pri vrhu [inlmath]36^\circ[/inlmath].Na produzetkukraka [inlmath]AC[/inlmath] iz tacke [inlmath]A[/inlmath] izabrana je tacka [inlmath]D[/inlmath] takva da je [inlmath]AD=AB[/inlmath].Dokazati da je trougao [inlmath]BCD[/inlmath] jednokokraki.

Ovo „jednakostraničan“ je sigurno greška, očigledno je da se radi o jednakokrakom.


Pošto je [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] jednakokraki, uglovi [inlmath]\angle BAC[/inlmath] i [inlmath]\angle ABC[/inlmath] su jednaki.
[dispmath]\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^\circ[/dispmath]
[dispmath]2\angle BAC+36^\circ=180^\circ[/dispmath]
[dispmath]2\angle BAC=180^\circ-36^\circ=144^\circ[/dispmath]
[dispmath]\angle BAC=\frac{144^\circ}{2}[/dispmath]
[dispmath]\angle BAC=\angle ABC=72^\circ[/dispmath]
[dispmath]\angle DAB=180^\circ-\angle BAC=180^\circ-72^\circ=108^\circ[/dispmath]
Pošto je [inlmath]AB=AD[/inlmath], trougao [inlmath]\triangle DAB[/inlmath] je jednakokraki, pa je, prema tome, i [inlmath]\angle BDA=\angle DBA[/inlmath].
[dispmath]\angle DAB+\angle BDA+\angle DBA=180^\circ[/dispmath]
[dispmath]108^\circ+2\angle BDA=180^\circ[/dispmath]
[dispmath]2\angle BDA=180^\circ-108^\circ=72^\circ[/dispmath]
[dispmath]\underline{\angle BDA=36^\circ}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\angle BDA=36^\circ=\angle ACB[/inlmath], zaključujemo da je trougao [inlmath]\triangle BCD[/inlmath] jednakokraki.

ali zasto ovo L

Nije to slovo L, to je oznaka za ugao.
Da je slovo L, izgledalo bi ovako: [inlmath]LABC[/inlmath]

Mozete li rijesiti ove druge

Možemo, naravno.
Ali, trenutno pišem odgovore drugima koji su se isto obratili za pomoć. Tebi su već urađena dva zadatka.
Uštedeo/la bi nam dosta vremena i truda ako bi nam napisao/la dokle si stigao/la s pokušajima rešavanja zadataka i gde je tačno zapelo. A u tom slučaju ćeš sigurno i brže dobiti odgovor.

dalila je napisao:2.Na svakoj stranici jednekostranicnog trougla [inlmath]ABC[/inlmath] nanesene su jednake duzi [inlmath]AA_1=BB_2=CC_1[/inlmath].Dokazi da trougao [inlmath]A_1B_1C_1[/inlmath] jednakostranican.

Ako dokažemo podudarnost trouglova [inlmath]\triangle A_1BB_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle C_1AA_1[/inlmath], dokazali smo i jednakost njihovih stranica [inlmath]A_1B_1[/inlmath] i [inlmath]C_1A_1[/inlmath].

Trouglovi [inlmath]\triangle A_1BB_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle C_1AA_1[/inlmath] imaju jednake stranice [inlmath]BB_1[/inlmath], odnosno [inlmath]AA_1[/inlmath], po uslovu zadatka.
Takođe, pošto su stranice [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CA[/inlmath] jednake, a jednake su i duži [inlmath]AA_1[/inlmath] i [inlmath]CC_1[/inlmath], biće jednake i duži [inlmath]A_1B=AB-AA_1[/inlmath] i [inlmath]C_1A=CA-CC_1[/inlmath]. To su druge dve stranice ovih trouglova koje su međusobno jednake.
Kod svakog od ova dva trougla ugao zahvaćen ovim stranicama jednak je [inlmath]60^\circ[/inlmath], tj. imaju i međusobno jednake uglove između ovih stranica.

Pošto trouglovi [inlmath]\triangle A_1BB_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle C_1AA_1[/inlmath] imaju po dve međusobno jednake stranice i imaju jednake njima zahvaćene uglove, na osnovu SUS zaključujemo da su oni podudarni. Iz njihove podudarnosti, zatim, sledi i jednakost njihovih stranica, [inlmath]A_1B_1=C_1A_1[/inlmath].

Na isti način se dokazuje da je i stranica [inlmath]B_1C_1[/inlmath] jednaka stranicama [inlmath]A_1B_1[/inlmath] i [inlmath]C_1A_1[/inlmath].To prepuštam tebi, za vežbu.

Hm, da li je treći dobro postavljen (ili ga ja pogrešno interpretiram)?

[inlmath]\angle BAC=\alpha[/inlmath]
[inlmath]\angle ACB=\gamma[/inlmath]

Neka je [inlmath]S[/inlmath] presek simetrala.

Iz [inlmath]\triangle SAC[/inlmath] dobijamo [inlmath]\angle ASC=180^\circ-\frac{\alpha+\gamma}{2}[/inlmath]

Iz [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] imamo [inlmath]\alpha+\gamma=180^\circ-\beta[/inlmath], tj. [inlmath]\angle ASC=180^\circ-\frac{180^\circ-\beta}{2}=90^\circ+\frac{\beta}{2}[/inlmath]

Potvrđujem grešku u tekstu, i ja sam to sinoć primetio i mislio sam danas to isto da napišem što i ti.

Što i ne čudi, budući da i svaki od prethodna dva zadatka krije poneku grešku u tekstu.