MATEMANIJA

Data je kruznica, [inlmath]R=4\:\mbox{cm}[/inlmath]. U nju je upisan osmougao i pravilan dvanaestougao. Naci odnos [inlmath]P_8[/inlmath] i [inlmath]P_{12}[/inlmath].

Površina pravilnog mnogougla sa brojem stranica [inlmath]n[/inlmath] upisanog u krug poluprečnika [inlmath]R[/inlmath] je:
[dispmath]P=\frac{n}{2}R^2\sin\frac{2\pi}{n}[/dispmath]
Otuda je:
[inlmath]P_1=\frac{8}{2}4^2\sin\frac{2\pi}{8}=64\frac{\sqrt{2}}{2}=32\sqrt{2}[/inlmath]
[inlmath]P_2=\frac{12}{2}4^2\sin\frac{2\pi}{12}=48[/inlmath]
[dispmath]\frac{P_1}{P_2}=\frac{32\sqrt{2}}{48}=\frac{2\sqrt{2}}{3}[/dispmath]

Ako želiš rešenje bez trigonometrije i ove gotove formule, eto ti uputstva. Osmougao možeš podeliti na [inlmath]8[/inlmath] jednakokrakih trouglova čiji su krakovi [inlmath]R[/inlmath], a osnova stranica tog osmougla, pri čemu je ugao između krakova [inlmath]\frac{360}{8}=45^\circ[/inlmath]. Imaš dovoljno informacija da izračunaš površinu takvog trougla. Pomnožiš to sa [inlmath]8[/inlmath] i eto površine celog mnogougla.

Slično, dvanaestougao možeš podeliti na [inlmath]12[/inlmath] jednakokrakih trouglova čiji su krakovi [inlmath]R[/inlmath], a osnova stranica tog dvanaestougla, pri čemu je ugao između krakova [inlmath]\frac{360}{12}=30^\circ[/inlmath]. Opet su informacije dovoljne za izračunavanje površine trougla, i množenjem sa [inlmath]12[/inlmath] dobićeš površinu celog dvanaestougla.

Na kraju ti ostaje samo da ih uporediš.

Hvala!