MATEMANIJA

Ovo je vjerovatno jednostavan zadatak, ali meni ništa ne pada na pamet kako da ga riješim... Može li mi neko pomoći?

Dve stranice trougla su [inlmath]10\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]14\text{ cm}[/inlmath], a ugao naspram prve je [inlmath]45^\circ[/inlmath]. Kolika je površina tog trougla?

Pokušala sam sve, od [inlmath]\alpha+\beta=135^\circ[/inlmath] do Heronovog obrasca, međutim imam premalo podataka. Postoji li neko pravilo kojeg se sjećam ili ne razmišljam dovoljno?

Hvala!

Po mome ovde nesto ne stima. Jer kao trecu stranicu dobijem dvije vrijednosti tj (postoje dva trougla) ovaj trougao nije odredjen. Po ovome mome ispada tako jer ako znas trecu stranicu onda je sve lako. Naravno sinusna teorema ne moze jer se ne dobiju standardni uglovi.
Ja sam dobio ovo
[dispmath]c^2-14\sqrt2c+96=0\\
c_1=6\sqrt2\\
c_2=8\sqrt2[/dispmath] Tako da onda imaju dvije povrsine!

Tako je, dobiju se dva moguća rešenja za površinu. Evo kako bi se to dobijanje dva rešenja moglo objasniti konstrukcijski:


Dakle, kada konstruišemo kružnicu s centrom u temenu koje je zajedničko za stranice od [inlmath]10\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]14\text{ cm}[/inlmath], a s poluprečnikom [inlmath]10[/inlmath], tu kružnicu će stranica naspramna tom temenu presecati u dve tačke. To su dva moguća rešenja za teme koje sadrži stranicu [inlmath]c[/inlmath] i stranicu od [inlmath]10\text{ cm}[/inlmath].

---

Do kvadratne jednačine koju je Gamma rešavao može se doći primenom kosinusne teoreme, pretpostavljam da je Gamma tako i radio.

I onda za svako od ova dva rešenja za stranicu [inlmath]c[/inlmath] koja je Gamma dobio, tražimo odgovarajuću površinu trougla – možemo Heronovim obrascem budući da su nam poznate sve tri stranice, a možemo i pomoću formule [inlmath]P_\triangle=\frac{ab}{2}\sin\gamma[/inlmath], budući da su nam poznate dve stranice i njima zahvaćen ugao...

Daniele vec kad smo tu da ne ostavljam za poslije. Da dosao sam do ove kvadratne jednacine preko kosinusne teoreme. Ja sam pokusavao sve i svasta da idem na neki drugi nacin ali nije mi se dalo nikako. Pitanje je da li bi se moglo doci do ove jednacine na neki drugi nacin?

Zaista ne vidim šta fali kosinusnoj teoremi i zbog čega bi pokušavao na drugi način, kad kosinusna teorema daje najbrži put do cilja. Ali, može se uraditi i preko sinusne teoreme, jeste komplikovanije, ali nije ni to loša vežba. Obeležimo ugao naspram stranice od [inlmath]14\text{ cm}[/inlmath] sa [inlmath]\alpha[/inlmath]. Tada je, prema sinusnoj teoremi,
[dispmath]\frac{10}{\sin45^\circ}=\frac{14}{\sin\alpha}[/dispmath][dispmath]\sin\alpha=\frac{14}{10}\cdot\sin45^\circ[/dispmath][dispmath]\sin\alpha=\frac{7}{5}\cdot\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath][dispmath]\sin\alpha=\frac{7\sqrt2}{10}[/dispmath] Pošto je zbir uglova u trouglu jednak [inlmath]180^\circ[/inlmath], tj. [inlmath]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ[/inlmath], sledi da je [inlmath]\gamma=180^\circ-\left(\alpha+\beta\right)[/inlmath].
[dispmath]\sin\gamma=\sin\left[180^\circ-\left(\alpha+\beta\right)\right]=\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/dispmath]
[dispmath]\sin\alpha=\frac{7\sqrt2}{10}\quad\Longrightarrow\quad\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\frac{98}{100}}=\pm\frac{\sqrt2}{10}\\
\beta=45^\circ[/dispmath]
[dispmath]\Longrightarrow\quad\sin\gamma=\frac{7\sqrt2}{10}\cdot\frac{\sqrt2}{2}\pm\frac{\sqrt2}{10}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{7\pm1}{10}[/dispmath] Dakle, dobili smo dva rešenja za sinus ugla [inlmath]\gamma[/inlmath]. Radi nalaženja stranice [inlmath]c[/inlmath], ponovo primenjujemo sinusnu teoremu:
[dispmath]\frac{c}{\sin\gamma}=\frac{10}{\sin\beta}[/dispmath][dispmath]c=10\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}[/dispmath][dispmath]c=\cancel{10}\cdot\frac{\frac{7\pm1}{\cancel{10}}}{\frac{\sqrt2}{2}}[/dispmath][dispmath]c=\left(7\pm1\right)\sqrt2[/dispmath][dispmath]c_1=6\sqrt2,\quad c_2=8\sqrt2[/dispmath] Znači, definitivno jednostavnije kosinusnom.

U pravu si komplikovanije je. Ne znam ni ja meni je nekako nelogicno da iz [inlmath]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/inlmath] izvlacim [inlmath]c[/inlmath] ne znam ni ja kako sam dosao do toga je preko kosinusne teoreme za [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] stranicu ne moze.

A, da, sada je rjesenje logicno. Hvala vam, vjerovatno se nikada ne bih ovoga sjetila!

Ja sam ovaj zadatak resila tako sto sam povukla visinu na stranicu od [inlmath]14\text{ cm}[/inlmath] i onda se dobije pravougli jednakokraki trougao i onda se preko pitagorine teoreme dobija veoma lako visina i tacna su resenja, pa me zanima da li je i to tacan postupak?
Hvala unapred

Ako misliš na [inlmath]h^2=10^2-(14-h)^2[/inlmath], da, to je takođe interesantan (i, naravno, tačan) postupak.