MATEMANIJA

Neka upisana kruznica [inlmath]k[/inlmath] jednakokrakog trougla [inlmath]ABC[/inlmath] dodiruje krake [inlmath]BC[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath] u tackama [inlmath]D[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath] i neka je [inlmath]F[/inlmath] presecna tacka duzi [inlmath]AD[/inlmath] i kruznice [inlmath]k[/inlmath]. Ako je [inlmath]G[/inlmath] presecna tacka pravih [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]EF[/inlmath] tada je odnos duzi [inlmath]AG[/inlmath] i [inlmath]AB[/inlmath] jednak? Resenje je [inlmath]1:4[/inlmath].

Pokusavala sam preko osobina tangente i kruga, preko poluprecnika upisane i opisane kruznice, preko visine jednakokrakog trougla, ali nista nisam uspela. Verovatno postoji nesto iz teorije sto ne znam. Ako neko moze da pomogne

zlatna ribica je napisao:Pokusavala sam preko osobina tangente i kruga, preko poluprecnika upisane i opisane kruznice, preko visine jednakokrakog trougla, ali nista nisam uspela.

A preko sličnosti trouglova?

Potrebno je da uočiš da su trouglovi [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle EAG[/inlmath] slični, kao i u kom odnosu stoje njihove stranice. Posle toga je sasvim lako.

Baš mi se svideo ovaj zadatak, odakle je?

U pitanju je jedan od zadataka sa probnog prijemnog na FONu iz 2004 mozes li da mi nacrtas sliku, nikako ne mogu da se skontam sa ovim zadatkom, sto puta sam crtala i brisala i pisala

Stranice su u odnosu [inlmath]1:2[/inlmath].


P.S. Mislio sam da samo @Gamma trazi da se nacrta slika.
P.P.S. Valjda nisam omanuo sa slikom.

Ilija je napisao:P.S. Mislio sam da samo @Gamma trazi da se nacrta slika.

Dobio konkurenciju.

Ipak je ovo mnogo jednostavnija slika. Ja sam tražio 3D, i nije baš lako nacrtati 3D sliku

@Gamma,
ja ne mogoh da nađem post gde si ti tražio 3d sliku, to jest taj na koji si mislio.
Daj molim te link (naš, interni Matemanijski) pa ako ti nisu crtali, ja koji to ne volim crtam u toj temi u roku od odmah u 3d .
p.s. Da li si primetio da je i Sinisa krenuo da crta?

Zahvaljujem na slici, isto sam ovako nacrtala, al' nista nisam zakljucivala :/

desideri je napisao:p.s. Da li si primetio da je i Sinisa krenuo da crta?

Ništa to, [inlmath]2D[/inlmath] je davno prevaziđeno. Sada samo [inlmath]3D[/inlmath] je u fazonu. Ma nacrato sam davno i tu [inlmath]3D[/inlmath] skicu. Kada počne raditi [inlmath]3D[/inlmath] neka je onda javi

desideri je napisao:Daj molim te link (naš, interni Matemanijski)

Evo ide taj link.

zlatna ribica je napisao:Zahvaljujem na slici, isto sam ovako nacrtala, al' nista nisam zakljucivala :/

I, jesi li uspela da dokažeš sličnost pomenutih trouglova? Ili da pomažemo?

Nisam jos uspela

Gamma je napisao:Kada počne raditi [inlmath]3D[/inlmath] neka je onda javi

nisam ja kao ti da prvo racunam integralo pa tek posle crtam 3D slike... ako ti ikada bude trebala neka skica - mi, clanovi ovog foruma, cemo ti vrlo rado pomoci da je nacrtas ili jos bolje, pomocemo ti da naucis kako se crtaju skice

Aj naporan si, počinješ da smaraš. Zar na svaki moj post moraš odgovoriti? Vidim da ti je cilj da napucaš što više postova. Da sam ja odgovarao na svaki tvoj imao bih još 100 postova.

@Gamma, @Siniša (zamalo da otkucam @Gamma, @Delta ), kad ste već ovde, imate li, možda, još neku ideju za rešavanje ovog zadatka (zbog kojeg je ova tema i pokrenuta), osim preko pomenute sličnosti trouglova?

zlatna ribica je napisao:Nisam jos uspela

Obeleži sa [inlmath]H[/inlmath] središte osnovice [inlmath]AB[/inlmath] (iliti tačku dodira osnovice [inlmath]AB[/inlmath] i kružnice [inlmath]k[/inlmath]),


a zatim pronađi vezu između ugla [inlmath]\angle DHE[/inlmath] i [inlmath]\angle ABD[/inlmath] (obeleženi crveno i zeleno na slici).

---

Nakon toga, pronađi vezu između uglova [inlmath]\angle DFE[/inlmath] i [inlmath]\angle DHE[/inlmath] (takođe obeleženi crveno i zeleno na sledećoj slici):

---

Zatim, uoči jednakost uglova [inlmath]\angle AFG[/inlmath] i [inlmath]\angle DFE[/inlmath] (unakrsni uglovi, obeleženi zeleno):

---

Posle ovoga, ako si sve pravilno odradila, neće ti biti problem da pokažeš sličnost trouglova [inlmath]\triangle EAG[/inlmath] i [inlmath]\triangle AFG[/inlmath], a zatim, na osnovu toga, i sličnost trouglova [inlmath]\triangle EAG[/inlmath] i [inlmath]\triangle ABD[/inlmath].

---

Ako negde zapne, pitaj. A ako odradiš, ne bi bilo loše da nam napišeš kako si radila, sigurno će i drugima koristiti.

Gamma je napisao:Aj naporan si, počinješ da smaraš. Zar na svaki moj post moraš odgovoriti? Vidim da ti je cilj da napucaš što više postova. Da sam ja odgovarao na svaki tvoj imao bih još 100 postova.

unaprijed se izvinjavam jer citiram citav post i natrpavam temu...

*zanima me kako neko ko ima toliko smarajucih postova, nerazumljivih, postova gdje je samo jedan smajlic i slicnih moze nekome reci da smara sa postovima... @gamma, ti si na svakoj temi gdje su bili neki sistemi govorio da moze graficki, svaki sistem se moze rijesiti graficki - za neki treba 2min da ga rjesis graficki a za neki dvije godine da sve nacrtas. POTREBNIJI JE MOJ POST GDJE TI GOVORIM DA ODES KOD PSIHIJATRA (to moze nekome koristiti, u ovom slucaju tebi) NEGO TVOJ POST DA SE MOZE RJESITI GRAFICKI, svaki jednacinu mozes prikazati graficki - i je li to nepotrebno? je li nepotrebno pisati 20x da se moze rijesiti graficki kad se svaka moze rjesiti graficki?

potrebnije je cak i ovo moje "je li nepotrebno" koje toliko puta ponavljam nego govoriti za neku trigonometrijsku jednacinu da moze graficki, DA moze - ali bez programa za crtanje bi nam trebala 2 mjeseca da nacrtamo precizno... s ovim postom zavrsavamo bilo kakvu diskusiju na forumu, ako mi zelis nesta reci - reci to jednom normalnom smislenom recenicom a ne tim glupim frazama i komentarima ciji je cilj samo da ima nesta napisano...

ovo je moja greska, jer sam dozvolio da me iznervira osoba koja zadatak koji je namjenjen djeci u vrticu pokusava rjesiti trazenjem opsteg clana niza, mnozenjem itd... osoba koja nekome govori da je nepismen jer je napisao "J" gdje ne treba, a ista ta pise "odakleN" "kojemE" itd...

dok sam pisao ovaj post shvatio sam da se sa nekim ljudima ne vrijedi raspravljati, pa cu to pokusati pretociti u jedan citati "ako je neko glup, umisljen i uporan - ne raspravljaj se s njim", stoga @gamma od sad prekidamo svaki vid rasprava

Neću ovo uopšte da čitam što si napisao. Ne zanima me. Upravo ovo što si napisao je dokaz moga tvrđenja...

Pozdrav
Pišete treba uočiti sličnost trouglova. Kako?
SĐ

Moram da dodam, da ne umete da objašnjavate. Ili je cilj biti enigmatičan, pa davati rešenje na kašičicu!
SĐ

Djidja22 je napisao:Pozdrav
Pišete treba uočiti sličnost trouglova. Kako?

Pozdrav. Evo, opisano ovde kako. Možda ti je promaklo.
Ako neki od navedenih koraka treba dodatno pojasniti, slobodno možeš zatražiti pojašnjenje, samo onda navedi koji je korak u pitanju.

Djidja22 je napisao:Moram da dodam, da ne umete da objašnjavate. Ili je cilj biti enigmatičan, pa davati rešenje na kašičicu!

Upravo ovo drugo što si naveo. Svrha Matemanije je da deluje edukativno, što znači ne da rešava ljudima zadatke, već da im pomogne da zadatke reše.
Kome je cilj da matematiku nauči/uvežba, na pravom je mestu. Kome je cilj da dobije kompletna i gotova rešenja „na tacni“, za to postoje drugi matematički forumi (da ih sad ne imenujem, može se izguglati).
U tome i jeste bogatstvo interneta, da svako može, zavisno od toga šta mu je cilj, pronaći ono što mu odgovara.

U pravu ste. Izvinjavam se - treba malo i mućnuti glavom.

Eto, drago mi je da smo se razumeli. I, nema potrebe za persiranjem.

Jel mozete da objasnite slicnost trouglova [inlmath]ABD[/inlmath] i [inlmath]AGE[/inlmath]?
Uocavam da imaju jedan isti ugao i da je [inlmath]AB=2AC=2BD[/inlmath], ali i pretpostavljam da je stranica [inlmath]BD=2AG[/inlmath] mada ne kontam bas zbog cega je to tako?

Square je napisao:Jel mozete da objasnite slicnost trouglova [inlmath]ABD[/inlmath] i [inlmath]AGE[/inlmath]?

Trouglovi [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle EAG[/inlmath] imaju jedan par jednakih uglova, to su uglovi [inlmath]\angle ABD[/inlmath] i [inlmath]\angle EAG[/inlmath]. To je očigledno.

Da bismo dokazali da su ova dva trougla slična, potrebno je pokazati da imaju još jedan par jednakih uglova. Zato je, kao što napisah, prethodno potrebno pokazati sličnost trouglova [inlmath]\triangle EAG[/inlmath] i [inlmath]\triangle AFG[/inlmath]. Iz te sličnosti sledi [inlmath]\angle AEG=\angle FAG[/inlmath], a kako je [inlmath]\angle FAG=\angle BAD[/inlmath], sledi i [inlmath]\angle AEG=\angle BAD[/inlmath], čime je pokazano da trouglovi [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle EAG[/inlmath] imaju i drugi par jednakih uglova, a time i da su ti trouglovi slični.

Square je napisao:Uocavam da imaju jedan isti ugao i da je [inlmath]AB=2AC=2BD[/inlmath],

Verovatno si hteo napisati [inlmath]AB=2A{\color{red}E}=2BD[/inlmath].

Square je napisao:ali i pretpostavljam da je stranica [inlmath]BD=2AG[/inlmath] mada ne kontam bas zbog cega je to tako?

To sledi upravo iz malopre pokazane sličnosti trouglova. Iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle EAG[/inlmath] imamo [inlmath]AB=2BD\;\Longrightarrow\;EA=2AG[/inlmath], a iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle EAG[/inlmath] i [inlmath]\triangle AFG[/inlmath] imamo [inlmath]EA=2AG\;\Longrightarrow\;AF=2FG[/inlmath]. Odatle (uz jednakost [inlmath]BD=AE[/inlmath]) sledi [inlmath]AB=4AG[/inlmath].

A kako znamo da su trouglovi [inlmath]AFG[/inlmath] i [inlmath]AGE[/inlmath] slični?
Uocavam da imaju isti ugao (ugao [inlmath]AGF[/inlmath] je jednak uglu [inlmath]AGE[/inlmath]) i zajednicku stranicu [inlmath]AG[/inlmath], a koliko znam trebaju nam 3 elementa da bi mogli da tvrdimo da su dva trougla slična, mada ne mogu da skontam koji je treci element.
Podavno sam radio sličnost trouglova pa mi ne ide bas najbolje

Pored [inlmath]\angle AGF=\angle EGA[/inlmath], dovoljno je da ta dva trougla imaju još jedan par jednakih uglova da bi bili slični. Uglovi [inlmath]\angle EAG[/inlmath] i [inlmath]\angle AFG[/inlmath] takođe su jednaki, a ovde sam to i pokazao.