MATEMANIJA

U trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], [inlmath]AB=8[/inlmath], [inlmath]AC=4[/inlmath] i ugao kod temena [inlmath]\angle A=30^\circ[/inlmath], upisan je paralelogram maksimalne povrsine tako da mu se jedno teme podudara sa temenom [inlmath]A[/inlmath] trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]. Povrsina tog paralelograma je: resenje je [inlmath]P_{\text{paralelograma}}=4[/inlmath]

Ja sam mislio da iskoristim da je povrsina paralelograma [inlmath]P=ab\sin30^\circ[/inlmath] ali ne umem nikako da izrazim jednu stranicu preko druge. I pogledao sam druge teme slicne ovoj ali mi nazalost nisu pomogle.

Resio sam zad, iskoristi se proporcija [inlmath]4:8=a:(8-b)[/inlmath] i dobije se tacno resenje kad se uvrsti u formulu za povrsinu.

Ja mislim da postoji matematicki dokaz, da kad imas tako zadat paralelogram u trouglu, da su mu u stvari stranice jednake polovini te stranice trougla..?
Molio bih Daniela i desideri-ja da prokomentarisu da li je to tacno, ali u ovom slucaju stvarno jeste.

Jeste, tačno je, a odlična vežba će ti biti da to i dokažeš. Znači, samo uzmeš stranice u opštim brojevima, kao i proizvoljnu vrednost ugla.
Takođe, površina takvog paralelograma je jednaka polovini površine trougla.

A kako bi se ovaj zadatak zavrsio preko slicnosti trouglova. Ja na kraju dobijam da je [inlmath]a=8-b[/inlmath], preko proporcije [inlmath]4:8=a:(8-b)[/inlmath], i tu stajem . Ne vidim gde mogu taj izraz da iskoristim u daljem radu?

Iz proporcije [inlmath]4:8=a:(8-b)[/inlmath] dobije se [inlmath]a=\frac{8-b}{2}[/inlmath], odnosno [inlmath]b=8-2a[/inlmath]. Mislim da je zgodnije primeniti ovo drugo, kako se ne bismo petljali s razlomkom.
Uvrstimo, dakle, [inlmath]b=8-2a[/inlmath] u gorenapisanu formulu za površinu paralelograma [inlmath]P=ab\sin30^\circ[/inlmath], a zatim prvi izvod površine paralelograma izjednačimo s nulom (jer se traži da površina bude maksimalna). Odatle se dobije [inlmath]a[/inlmath], a dalje je lako...