MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 3. septembar 2009.
5. zadatak

Kada se razvije omotac prave kruzne kupe dobija se cetvrtina kruga poluprecnika [inlmath]r=5\text{ cm}[/inlmath]. Trazi se zapremina kupe.
Resenje je [inlmath]\frac{125\sqrt{15}}{192}\pi[/inlmath].

Inace me bune ovakvi zadaci kad mi daju razvijen omotac, skroz se pogubim. Crtao sam i slicicu kako izgleda u osnovi, ali mi nije bas puno pomoglo, posle kad prebacim u 3D sve mi se pomesa. Uopste nemam ideju kako da ovo uradim. Posto je cetvrtina kruga, ugao izmedju izvodnica mi je [inlmath]90[/inlmath] stepeni, samo to sam uspeo da zakljucim.

ja sam koristio formulu [inlmath]\displaystyle l=\frac{r\cdot\pi\alpha}{180^\circ}[/inlmath] to je obim kupe odakle mozes da dobijes poluprecnik baze pa pitagorinom teoremom i visinu

Hvala, tu formulu nisam znao.

predji preko isecka i odsecka krugova, kod kupe omotac je zavijeni isecak kruga pa zato i vazi formula koju sam napisao

Razumem, uspeo sam da uradim zadatak zahvaljujuci toj formuli.

Obim kruga u osnovi kupe jednak je dužini luka kružnog isečka koji je zapravo omotač kupe.
Ja sam taj omotač kupe uvek zamišljao kao "fišek", ako si nekad uzimao semenke (suncokret ili bundeva) pa ti sipaju u taj "fišek" na trafici, ne znam da li toga sada ima...
Smotaj papir u kupu, napravi gore "špic". Iseci ga dole makazama, ravno. Stavi odozdo krug i to je kupa.
Površina kupe je zbir površine tog kruga dole (bazisa) i omotača.
U ovom zadatku je mnogo prosto naći površinu omotača. Rečeno je da je to četvrtina kruga zadatog poluprečnika. A taj omotač se dobija kada se pomenuti "fišek" razvije.
Još dodaš površinu osnove, to jest bazisa kupe. To je površina kruga čiji je obim jednak dužini luka razvijenog "fišeka". A lako je to naći, pošto je rečeno da je četvrtina kruga.
Dakle, dužina luka razvijenog omotača jednaka je obimu osnove kupe.
Evo i proste slike, na brzinu sam ovo postavljao ali mislim da je jasno:


Sa [inlmath]S[/inlmath] je označena bočna ivica kupe.

Sad mi je jasnija cela ta prica sa omotacem. Imam jedno glupo pitanje nevezano za ovu temu, vec za trigonometriju. Kad imam interval [inlmath][-\pi,\pi][/inlmath] da li to [inlmath]-\pi[/inlmath] posmatram kao [inlmath]2\pi[/inlmath] ili ipak ne? Buni to me da li posmatram uglove u smeru kazaljke na satu ili suprotnom, kad imam [inlmath]-\pi[/inlmath] ili gledam i jedan i drugi smer? Ovo je poslednje pitanje za danas, obecavam.

Stvarno pitanje ne spada u ovu temu, no odgovoriću i na ovom mestu zbog vremenskog cajtnota u vezi s prijemnim ispitima
Pozitivan smer u matematičkom smislu je smer suprotan smeru kazaljke na satu.
Recimo, od [inlmath]x[/inlmath] ose kontra smeru kazaljke odmeri [inlmath]45[/inlmath] stepeni na trigonometrijskoj kružnici i to je [inlmath]+45[/inlmath] stepeni. Ili da kažem "na gore", mada to i nije baš precizno.
Daniel je napisao sjajan tutorijal u vezi s tvojim pitanjima. Zapamtite svi i ovo:
[inlmath]-\pi[/inlmath] nikada nije bilo [inlmath]2\pi[/inlmath] niti će biti.
I jedna primedba:
bez veće potrebe si citirao skoro ceo post, tako da ću citat ukloniti. Molim sve korisnike da pročitaju naš Pravilnik.

Hvala ti puno na izdvojenom vremenu. Znam da je sad frka oko prijemnih i hvala sto se trudis da nam pomognes.

Pre svega, čestitam na jedinoj temi u dosadašnjoj istoriji Matemanije čiji je ID jednak broju tekuće godine.
Link ove teme je viewtopic.php?f=3&t=2015
To se desilo sad i, najverovatnije, nikad više, pod pretpostavkom da sledeća tema (čiji će ID biti 2016) neće biti pokrenuta tek sledeće godine, i da tema posle nje (čiji će ID biti 2017) neće biti pokrenuta tek kroz dve godine itd... jer, šanse za to, na forumu koji dnevno u proseku ima po desetak novih tema, zaista su nikakve.

Anonimo je napisao:Posto je cetvrtina kruga, ugao izmedju izvodnica mi je [inlmath]90[/inlmath] stepeni, samo to sam uspeo da zakljucim.

Prvo, šta znači ugao između izvodnica, budući da tih izvodnica imaš beskonačno mnogo? Ako misliš na ugao između izvodnica koje pripadaju istom osnom preseku kupe (tj. koje sadrže dijametralno suprotne tačke na kružnici u osnovi kupe), tada je zaključak pogrešan. Osni presek kupe je jednakokraki trougao, čije krake čine te dve izvodnice kupe, a osnovicu tog trougla čini prečnik kruga u osnovi kupe. Eto, možeš odgovoriti na dva jednostavna pitanja:

• Koliki treba da bude poluprečnik osnove kupe da bi ugao između te dve izvodnice zaista bio [inlmath]45^\circ[/inlmath]?
• Koliki je ugao između te dve izvodnice kupe u ovom zadatku?

matija je napisao:ja sam koristio formulu [inlmath]\displaystyle l=\frac{r\cdot\pi\alpha}{180^\circ}[/inlmath] to je obim kupe odakle mozes da dobijes poluprecnik baze pa pitagorinom teoremom i visinu

Anonimo je napisao:Hvala, tu formulu nisam znao.

Ne moraš je učiti napamet. Može se vrlo lako izvesti. Krug možemo posmatrati kao kružni isečak čiji je ugao [inlmath]360^\circ[/inlmath] i njegov obim je, kao što znamo, [inlmath]2\pi r[/inlmath]. Budući da luk kružnog isečka linearno zavisi od ugla isečka, možemo postaviti proporciju za luk nekog isečka čiji je ugao [inlmath]\alpha[/inlmath]:
[dispmath]360^\circ:2\pi r=\alpha:l[/dispmath] iz koje sledi [inlmath]\displaystyle l=\frac{2\pi r\alpha}{360^\circ}=\frac{\pi r\alpha}{180^\circ}[/inlmath].

A može se zaključiti i na osnovu toga što je luk nad uglom od jednog radijana jednak poluprečniku (što je i definicija radijana):
[dispmath]l=r\cdot\alpha[\text{rad}][/dispmath] pa kad ugao dat u radijanima izrazimo u stepenima, po formuli [inlmath]\alpha[\text{rad}]=\frac{\pi}{180^\circ}\alpha[^\circ][/inlmath], dobijamo takođe [inlmath]\displaystyle l=\frac{\pi r\alpha}{180^\circ}[/inlmath].

U ovom zadatku si mogao, i bez te formule, zaključiti da, ako je obim celog kruga jednak [inlmath]2\pi r[/inlmath], tada je dužina luka četvrtine kruga jednaka četvrtini tog obima, tj. [inlmath]\displaystyle\frac{\pi r}{2}[/inlmath].

desideri je napisao:Površina kupe je zbir površine tog kruga dole (bazisa) i omotača.

Zapravo, u ovom zadatku se ne traži površina već zapremina kupe, ali svakako je korisno što si napisao i ovo za površinu, možda na prijemnom baš dođe zadatak iz površine kupe.

Anonimo je napisao:Kad imam interval [inlmath][-\pi,\pi][/inlmath] da li to [inlmath]-\pi[/inlmath] posmatram kao [inlmath]2\pi[/inlmath] ili ipak ne?

[inlmath]-\pi[/inlmath] ne možeš posmatrati kao [inlmath]2\pi[/inlmath], kako ti je Desideri i odgovorio. Možda si hteo da pitaš, da li [inlmath]-\pi[/inlmath] možeš posmatrati kao [inlmath]\pi[/inlmath]? Ta dva ugla se na trigonometrijskoj kružnici predstavljaju na isti način, što znači da sve trigonometrijske funkcije daju iste vrednosti i za jedan i za drugi ugao. Isto tako i za uglove [inlmath]\ldots,-(2k+1)\pi,\ldots,-5\pi,-3\pi,-\pi,\pi,3\pi,5\pi,\ldots,(2k+1)\pi,\ldots[/inlmath] zbog periodičnosti trigonometrijske kružnice i trigonometrijskih funkcija. Dakle, ugao [inlmath]-\pi[/inlmath] svakako nije jednak uglu [inlmath]\pi[/inlmath], niti uglu [inlmath]3\pi[/inlmath] itd., ali trigonometrijske funkcije funkcije će dati istu vrednost i kad im je argument [inlmath]-\pi[/inlmath] i kad je argument [inlmath]\pi[/inlmath] i kad je argument [inlmath]3\pi[/inlmath] itd...