MATEMANIJA

1. Lopta poluprecnika [inlmath]2\sqrt 3[/inlmath] i ravnostrana kupa ([inlmath]2r=s[/inlmath]) imaju jednake povrsine. Izracunati [inlmath]V[/inlmath] kupe.
2. Omotač valjka je pravogaonik cije se dijagonale sijeku pod uglom od [inlmath]120^\circ[/inlmath]..AKO JE DIJAGONAla pravougaonika [inlmath]6\:\mathrm{cm}[/inlmath] izračunati [inlmath]P[/inlmath] valjka.

Makii456 je napisao:1. Lopta poluprecnika [inlmath]2\sqrt 3[/inlmath] i ravnostrana kupa ([inlmath]2r=s[/inlmath]) imaju jednake povrsine. Izracunati [inlmath]V[/inlmath] kupe.

Označimo poluprečnik lopte sa [inlmath]r_L[/inlmath]. Površina te lopte je jednaka:
[dispmath]P_L=4\pi r_L^2[/dispmath]
Ako sa [inlmath]r_K[/inlmath] označimo poluprečnik osnove kupe, a sa [inlmath]s[/inlmath] izvodnicu kupe, površina kupe je jednaka:
[dispmath]P_K=\pi r_K\left(r_K+s\right)=\pi r_K\left(r_K+2r_K\right)=3\pi r_K^2[/dispmath]
A pošto su površina lopte i površina kupe jednake, tada važi:
[dispmath]P_L=P_K[/dispmath][dispmath]4\pi r_L^2=3\pi r_K^2[/dispmath][dispmath]r_K^2=\frac{4}{3}r_L^2[/dispmath][dispmath]r_K=\frac{2}{\sqrt 3}r_L[/dispmath]
Zapremina kupe je jednaka
[dispmath]V_K=\frac{1}{3}B\cdot H[/dispmath]
gde je
[dispmath]B=\pi r_K^2[/dispmath]
Visinu kupe [inlmath]H[/inlmath] možemo naći primenom Pitagorine teoreme (nacrtaj sliku).
[dispmath]H^2=s^2-r_K^2[/dispmath][dispmath]H^2=\left(2r_K\right)^2-r_K^2[/dispmath][dispmath]H^2=3r_K^2[/dispmath][dispmath]H=r_K\sqrt 3[/dispmath]
Sada imamo sve što je potrebno da nađemo zapreminu kupe:
[dispmath]V_K=\frac{1}{3}B\cdot H[/dispmath][dispmath]V_K=\frac{1}{3}\pi r_K^2\cdot r_K\sqrt 3[/dispmath][dispmath]V_K=\frac{\sqrt 3}{3}\pi r_K^3[/dispmath][dispmath]V_K=\frac{\sqrt 3}{3}\pi\left(\frac{2}{\sqrt 3}r_L\right)^3[/dispmath][dispmath]V_K=\frac{\sqrt 3}{3}\pi\frac{8}{3\sqrt 3}r_L^3[/dispmath][dispmath]V_K=\frac{8}{9}\pi r_L^3[/dispmath][dispmath]V_K=\frac{8}{9}\pi\left(2\sqrt 3\right)^3[/dispmath][dispmath]V_K=\frac{8}{9}\pi\cdot 8\cdot 3\sqrt 3[/dispmath][dispmath]V_K=\frac{64\sqrt 3}{3}\pi[/dispmath]

Makii456 je napisao:2. Omotač valjka je pravogaonik cije se dijagonale sijeku pod uglom od [inlmath]120^\circ[/inlmath]..AKO JE DIJAGONAla pravougaonika [inlmath]6\:\mathrm{cm}[/inlmath] izračunati [inlmath]P[/inlmath] valjka.

Evo omotača valjka na slici:


Pošto je ugao [inlmath]\angle COD[/inlmath] jednak [inlmath]120^\circ[/inlmath], ugao [inlmath]\angle BOC[/inlmath], kao njemu suplementan, biće jednak [inlmath]180^\circ-120^\circ[/inlmath], tj. [inlmath]60^\circ[/inlmath].
U trouglu [inlmath]\triangle OBC[/inlmath], kao i inače u svakom trouglu, zbir uglova mora biti [inlmath]180^\circ[/inlmath]:[dispmath]\angle BOC+\angle OBC+\angle OCB=180^\circ[/dispmath][dispmath]60^\circ+\angle OBC+\angle OCB=180^\circ[/dispmath]Pošto su uglovi [inlmath]\angle OBC[/inlmath] i [inlmath]\angle OCB[/inlmath] jednaki, tj.[dispmath]\angle OBC=\angle OCB[/dispmath]
biće:[dispmath]60^\circ+2\angle OBC=180^\circ[/dispmath][dispmath]\angle OBC=60^\circ=\angle OCB[/dispmath]iz čega zaključujemo da je trougao [inlmath]\triangle OBC[/inlmath] jednakostraničan, jer su mu sva tri ugla jednaka [inlmath]60^\circ[/inlmath].
Pošto je jedna njegova stranica polovina dijagonale ovog pravougaonika, a druga stranica je kraća stranica pravougaonika, sledi da je kraća stranica pravougaonika jednaka polovini dijagonale, tj. [inlmath]3\;\mathrm{cm}[/inlmath].[dispmath]b=3\;\mathrm{cm}[/dispmath]Duža stranica tog pravougaonika biće jednaka dvostrukoj vrednosti visine jednakostraničnog trougla:[dispmath]a=2\cdot\frac{\sqrt 3}{2}3\;\mathrm{cm}[/dispmath][dispmath]a=3\sqrt 3\;\mathrm{cm}[/dispmath]
Površina valjka je jednaka zbiru površina osnova i površine omotača:[dispmath]P=2B+M[/dispmath]Površina omotača je jednaka površini malopre posmatranog pravougaonika:[dispmath]M=ab=3\sqrt 3\cdot 3=9\sqrt 3[/dispmath]Površina baze je jednaka površini kruga čiji je obim jednak stranici [inlmath]a[/inlmath] malopre posmatranog pravougaonika:[dispmath]O=2\pi r=a[/dispmath][dispmath]r=\frac{a}{2\pi}[/dispmath][dispmath]B=\pi r^2=\pi\left(\frac{a}{2\pi}\right)^2=\frac{a^2}{4\pi}=\frac{\left(3\sqrt 3\right)^2}{4\pi}=\frac{27}{4\pi}[/dispmath]
Površina valjka je jednaka:[dispmath]P=2B+M=2\cdot\frac{27}{4\pi}+9\sqrt 3[/dispmath][dispmath]P=\frac{27}{2\pi}+9\sqrt 3[/dispmath]