MATEMANIJA

Dat je jednakostranicni trougao [inlmath]ABC[/inlmath] stranice [inlmath]a[/inlmath]. Nad stranicama trougla (sa spoljne strane) konstruisani su kvadrati [inlmath]ABNM[/inlmath], [inlmath]BCQP[/inlmath] i [inlmath]ACRS[/inlmath]. Izracunati obim i povrsinu tako dobijenog sestougla [inlmath]MNPQRS[/inlmath] ([inlmath]\sqrt 3[/inlmath] ne treba zamenjivati).

Dobro nam došla na forum i srećan ti prvi post.


Zbog toga što je [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] jednakostraničan, biće jednaki i kvadrati nad njegovim stranicama, pa će biti jednake i stranice [inlmath]NP[/inlmath], [inlmath]QR[/inlmath] i [inlmath]SM[/inlmath].

Obim će biti jednak
[dispmath]O=MN+PQ+RS+NP+QR+SM=3MN+3NP=3\left(MN+NP\right)[/dispmath]
Prvo treba izračunati [inlmath]NP[/inlmath].
Iz temena [inlmath]B[/inlmath] povući čemo visinu na stranicu [inlmath]NP[/inlmath], koja će, zbog simetričnosti, deliti stranicu [inlmath]NP[/inlmath] u tački [inlmath]T[/inlmath] na dva jednaka dela, [inlmath]NT[/inlmath] i [inlmath]TP[/inlmath].
Ugao [inlmath]\angle NBP[/inlmath] možemo odrediti na sledeći način: Posmatramo uglove kod temena [inlmath]B[/inlmath]. Zbir svih tih uglova mora biti [inlmath]360^\circ[/inlmath], pa računamo:
[dispmath]\angle ABC+\angle PBC+\angle NBP+\angle NBA=360^\circ[/dispmath]
Ugao [inlmath]\angle ABC[/inlmath] je [inlmath]60^\circ[/inlmath] (ugao jednakostraničnog trougla)
Ugao [inlmath]\angle PBC[/inlmath] je [inlmath]90^\circ[/inlmath] (ugao kvadrata)
Ugao [inlmath]\angle NBP[/inlmath] je nepoznat (njega tražimo)
Ugao [inlmath]\angle NBA[/inlmath] je [inlmath]90^\circ[/inlmath] (ugao kvadrata)
[dispmath]60^\circ+90^\circ+\angle NBP+90^\circ=360^\circ[/dispmath]
[dispmath]\angle NBP=360^\circ-60^\circ-90^\circ-90^\circ[/dispmath]
[dispmath]\angle NBP=120^\circ[/dispmath]
Pošto je ugao [inlmath]\angle NBP=120^\circ[/inlmath], ugao [inlmath]\angle NBT[/inlmath] će biti jednak njegovoj polovini, tj. [inlmath]\angle NBT=60^\circ[/inlmath].

Sada vidimo da trougao [inlmath]\triangle NBT[/inlmath], pošto mu je jedan ugao [inlmath]60^\circ[/inlmath] a drugi ugao prav, zapravo predstavlja polovinu jednakostraničnog trougla čija je stranica [inlmath]NB=a[/inlmath], a visina mu je [inlmath]NT[/inlmath].

Prema tome, [inlmath]NT[/inlmath] računamo kao visinu jednakostraničnog trougla:
[inlmath]NT=\frac{a\sqrt 3}{2}[/inlmath]

Pošto je [inlmath]NT[/inlmath] polovina stranice [inlmath]NP[/inlmath], stranica [inlmath]NP[/inlmath] će biti:
[inlmath]NP=2NT=a\sqrt 3[/inlmath]

Obim šestougla će, prema tome, biti
[inlmath]O=3\left(MN+NP\right)=3\left(a+a\sqrt 3\right)=\underline{3a\left(1+\sqrt 3\right)}[/inlmath]

Površina šestougla će biti jednaka zbiru površine jednakostraničnog trougla u sredini, površina kvadrata i površina tupouglih trouglova:
[dispmath]P=P_{\triangle ABC}+3P_{ABNM}+3P_{\triangle NBP}[/dispmath]
Površina jednakostraničnog trougla je, naravno:
[inlmath]P_{\triangle ABC}=\frac{a^2\sqrt 3}{4}[/inlmath]

Površina jednog kvadrata je:
[inlmath]P_{ABNM}=a^2[/inlmath]

Površinu jednog tupouglog trougla određujemo na sledeći način:
Pošto smo dokazali da trougao [inlmath]\triangle NBT[/inlmath] predstavlja polovinu jednakostraničnog trougla, a trougao [inlmath]\triangle NBP[/inlmath] se sastoji od dva takva trougla, površina trougla [inlmath]\triangle NBP[/inlmath] će biti jednaka površini celog jednakostraničnog trougla stranice [inlmath]a[/inlmath]:
[inlmath]P_{NBP}=\frac{a^2\sqrt 3}{4}[/inlmath]

[dispmath]P=P_{\triangle ABC}+3P_{ABNM}+3P_{\triangle NBP}=\frac{a^2\sqrt 3}{4}+3a^2+3\cdot\frac{a^2\sqrt 3}{4}=[/dispmath]
[dispmath]=4\cdot\frac{a^2\sqrt 3}{4}+3a^2=a^2\sqrt 3+3a^2=\underline{a^2\left(\sqrt 3+3\right)}[/dispmath]