MATEMANIJA

Tri zadatka mi prestavljaju prepreku, iz oblasti stereometrije, pa bi bilo lepo ako bi mi pomogli da ih resim. Zadaci su sledeci:

---

8. Pravilna četvorostrana prizma presečena je sa ravni koja sadrži osnovnu ivicu prizme. Ako je površina preseka ravni i prizme dva puta veća od površine baze, tada je ugao između te ravni i baze prizme jednak:
[inlmath](A)\;15^\circ\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;30^\circ\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;45^\circ\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(D)\;60^\circ}\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;75^\circ\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

Kod ovog zadatka, ne razumem najbolje sta se trazi u zadatku i koji je to ugao ravni i baze?

---

14. Ako je [inlmath]\alpha[/inlmath] oštar ugao između prostornih dijagonala kocke, tada je [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;\frac{\sqrt2}{2}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;\frac{\sqrt2}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(D)}\;2\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;3\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

Ovde nisam siguran da li se prostorne dijagonale polove, pokusao sam na taj nacin da uradim ali ne dobijam dobro resenje.

---

18. Osnova prave četvorostrane piramide je pravougaonik dijagonale [inlmath]d[/inlmath] i ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] među dijagonalama. Ako bočne ivice obrazuju sa osnovom piramide ugao [inlmath]\beta[/inlmath], tada je zapremina ove piramide jednaka:
[inlmath](A)\;\frac{d^3}{12}\sin\alpha\text{ ctg }\beta\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(B)}\;\frac{d^3}{12}\sin\alpha\text{ tg }\beta\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;\frac{d^3}{4}\sin\alpha\text{ tg }\beta\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;\frac{d^3}{12}\sin\frac{\alpha}{2}\text{ tg }\beta\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\frac{d^3}{12}\cos\alpha\text{ tg }\beta\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

U ovom zadatku, sam preko kosinusne teoreme dosao do toga da mi je [inlmath]a=d\sqrt2\sin\frac{\alpha}{2}[/inlmath] ali dalje ne znam.

Prvi zadatak - slika je prilicno losa ali bitna je sustina

baza prizme
[dispmath]B=a^2[/dispmath] povrsina preseka ravni i prizme (zelenog dela sa slike)
[dispmath]P_p=2a^2[/dispmath] sa slike vidimo da je zapravo:
[dispmath]x\cdot a=2a^2[/dispmath][dispmath]x=2a[/dispmath] I sada samo primenis sledece:
[dispmath]\cos\alpha=\frac{\text{nalegla kateta}}{\text{hipotenuza}}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\alpha=60^\circ[/dispmath]

A sta im znaci presek ravni i prizme, kako si znao da je to bas taj presek kao na slici (Dobra je slika ), to mi nije jasno?

U zadatku kaze da ta ravan sadrzi osnovnu ivicu prizme - tako da je to nadam se jasno. E sad pogledaj ovu drugu sliku - znaci ta ravan moze da bude nekog "cudnog" oblika, medjutim bitan je presek te ravni i prizme a to mora da bude pravougaonik posto u zadatku kaze da ta ravan sadrzi osnovnu ivicu prizme i sece prizmu.


Ovaj pravougaonik sa slike je presek prizme i ravni.

Aha, okej.. Hvala

Ma nema frke - drugi cu veceras posto sad vec kasnim

maxaa je napisao:14. Ako je [inlmath]\alpha[/inlmath] oštar ugao između prostornih dijagonala kocke, tada je [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;\frac{\sqrt2}{2}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;\frac{\sqrt2}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(D)}\;2\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;3\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

Ovde nisam siguran da li se prostorne dijagonale polove, pokusao sam na taj nacin da uradim ali ne dobijam dobro resenje.

Primjetiš da se traži kut [inlmath]\alpha[/inlmath] jer je to oštri kut dijagonala, za razliku od [inlmath]\beta[/inlmath]...
I ideš po poučku kosinusa
[dispmath]a^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{2}\cos\alpha[/dispmath][dispmath]\cos\alpha=\frac{1}{3}[/dispmath] Pa će iz toga proizaći da je [inlmath]\text{tg }\alpha=2.828427125=2\sqrt2[/inlmath]

A kako bih bez digitrona (peske) dobio rezultat preko tangensa? Nemam ideju.

Al nesmite imat kalkić

Uspeo sa da dobijem, preko formule [inlmath]\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath] ali me buni koji se predznak stavlja [inlmath]+[/inlmath] ili [inlmath]-[/inlmath] ispred korena.
Pa ne smemo, ipak je prijemni za fakultet u pitanju.

Da ne bih pisao sve - samo cu dodati ono sto mislim da treba, a nije @blake napisao. Ako je rec o zadatku za prijemni onda nema digitrona (nazalost). Kada dobijes da je, kako je @blake odlicno izracunao
[dispmath]\cos\alpha=\frac{1}{3}[/dispmath] onda uocis ovaj trougao sa slike, gde je [inlmath]x=\frac{a\sqrt3}{2}[/inlmath]
[inlmath]y=a[/inlmath]
Pa sad samo primenis formulu za opsti slucaj trougla (koji se odnosi samim tim i na jednakokraki trougao)
[dispmath]P=\frac{ab}{2}\cdot\sin\gamma=\frac{ac}{2}\cdot\sin\beta=\frac{bc}{2}\cdot\sin\alpha[/dispmath] Sad svaku ovu formulu izjednacimo sa povrsinom naseg jednakokarakog trougla [inlmath]\left(P=\frac{y\cdot h}{2}=\frac{a^2\sqrt2}{4}\right)[/inlmath]
i dobijas da je
[dispmath]\sin\beta=\sin\gamma=1[/dispmath] e to nas ne zanima posto se u zadatku trazi ostar ugao - manji od devedeset stepeni, ali nas zanima sledece:
[dispmath]\sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{3}[/dispmath] I na kraju primenimo sledece:
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{2\sqrt2}{3}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt2[/dispmath]

maxaa je napisao:Pa ne smemo, ipak je prijemni za fakultet u pitanju.

Em imamo lakšu matematiku od vas, em možemo koristit kalkulatore na prijemnom tj. maturi

Ja sam sinus dobio na ovaj nacin: [inlmath]\cos x=\pm\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath] ali ne znam, da li ide plus ili minus, ja sam uzeo plus i dobio tacan rezultat, e sad to je bilo nagadjanje s moje strane, ali koji je argument za to?

EDIT: Da iskoristim priliku dok ste jos tu, treba mi pomoc u vezi jos jednog zadatka, blizu sam resenja ali nikako da ubodem.

5. Neka je [inlmath]M[/inlmath] tačka osnovice [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] tačka kraka [inlmath]BC[/inlmath] jednakokrakog trougla [inlmath]ABC[/inlmath], pri čemu je [inlmath]AM=MC[/inlmath] i [inlmath]MB=BN[/inlmath]. Ako je [inlmath]\angle C=100^\circ[/inlmath], tada je mera ugla [inlmath]CMN[/inlmath] (u stepenima) jednaka:
[inlmath]A)\;40;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;20;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;30;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;5;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{E)}\;10;\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam}.[/inlmath]

maxaa je napisao:Ja sam sinus dobio na ovaj nacin: [inlmath]\cos x=\pm\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath] ali ne znam, da li ide plus ili minus, ja sam uzeo plus i dobio tacan rezultat, e sad to je bilo nagadjanje s moje strane, ali koji je argument za to?

U zadatku se trazi ostar ugao - manji od devedeset stepeni (prvi kvadrant) - a znamo da su: [inlmath]\sin[/inlmath]; [inlmath]\cos[/inlmath]; [inlmath]\text{tg}[/inlmath]; [inlmath]\text{ctg}[/inlmath]
u prvom kvadrantu pozitivni - sto znaci ispred korena ide [inlmath]+[/inlmath]

Oke, hvala

forzajuve je napisao:znaci ta ravan moze da bude nekog "cudnog" oblika

Moram ovo da korigujem, ravan ne može biti „čudnog oblika“, jer ravan nema oblik. Ravan se, po definiciji, prostire na sve strane u beskonačnost, a kad je prikazujemo na nekom crtežu, prikazujemo samo deo te ravni u vidu najčešće nekog četvorougla, jer, naravno, ne možemo da nacrtamo nešto što je beskonačno.
Slično i za pravu – i prava je beskonačna, ali na crtežima predstavljamo samo jedan njen deo.

@maxaa, što se tiče prostornih dijagonala kod kocke i kako se one seku, bilo je već o tome reči i u ovoj temi, pa nije na odmet da i tamo baciš pogled.

forzajuve je napisao:Sad svaku ovu formulu izjednacimo sa povrsinom naseg jednakokarakog trougla [inlmath]\left(P=\frac{y\cdot h}{2}=\frac{a^2\sqrt2}{4}\right)[/inlmath]
i dobijas da je
[dispmath]\sin\beta=\sin\gamma=1[/dispmath]

Neće biti, jer bi to značilo da su i [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath] pravi uglovi. Mada, kao što i sam kažeš, ta dva ugla nisu ni bitna za dalji postupak, ali čisto da napomenem...

maxaa je napisao:EDIT: Da iskoristim priliku dok ste jos tu, treba mi pomoc u vezi jos jednog zadatka, blizu sam resenja ali nikako da ubodem.

5. Neka je [inlmath]M[/inlmath] tačka osnovice [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] tačka kraka [inlmath]BC[/inlmath] jednakokrakog trougla [inlmath]ABC[/inlmath], pri čemu je [inlmath]AM=MC[/inlmath] i [inlmath]MB=BN[/inlmath]. Ako je [inlmath]\angle C=100^\circ[/inlmath], tada je mera ugla [inlmath]CMN[/inlmath] (u stepenima) jednaka:
[inlmath]A)\;40;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;20;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;30;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;5;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{E)}\;10;\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam}.[/inlmath]

[inlmath]\begin{array}{ll}
\overline{AM}=\overline{MC}\\
\overline{MB}=\overline{BN}\\
\angle ACB=100^\circ\\
\angle CMN=?
\end{array}[/inlmath]
[dispmath]\angle BAC=\angle ABC=\frac{180^\circ-\angle ACB}{2}=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ[/dispmath][dispmath]\angle MCA=\angle MAC=\angle BAC=40^\circ[/dispmath][dispmath]\angle AMC=180^\circ-2\angle MAC=180^\circ-2\cdot 40^\circ=100^\circ[/dispmath][dispmath]\angle BMN=\angle BNM=\frac{180^\circ-\angle MBN}{2}=\frac{180^\circ-\angle ABC}{2}=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ[/dispmath][dispmath]\angle CMN=180^\circ-\angle AMC-\angle BMN=180^\circ-100^\circ-70^\circ=10^\circ[/dispmath]

E da, beše još i ovaj... Zamalo da padne u zaborav...

maxaa je napisao:18. Osnova prave četvorostrane piramide je pravougaonik dijagonale [inlmath]d[/inlmath] i ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] među dijagonalama. Ako bočne ivice obrazuju sa osnovom piramide ugao [inlmath]\beta[/inlmath], tada je zapremina ove piramide jednaka:
[inlmath](A)\;\frac{d^3}{12}\sin\alpha\text{ ctg }\beta\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(B)}\;\frac{d^3}{12}\sin\alpha\text{ tg }\beta\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;\frac{d^3}{4}\sin\alpha\text{ tg }\beta\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;\frac{d^3}{12}\sin\frac{\alpha}{2}\text{ tg }\beta\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\frac{d^3}{12}\cos\alpha\text{ tg }\beta\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

U ovom zadatku, sam preko kosinusne teoreme dosao do toga da mi je [inlmath]a=d\sqrt2\sin\frac{\alpha}{2}[/inlmath] ali dalje ne znam.

[inlmath]\begin{array}{ll}
d,\;\alpha,\;\beta \\
V=?
\end{array}[/inlmath]
Primenom kosinusne teoreme:
[dispmath]b^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2-2\left(\frac{d}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)\cos\alpha[/dispmath][dispmath]b^2\mathop=2\cdot\frac{d^2}{4}-2\cdot\frac{d^2}{4}\cos\alpha[/dispmath][dispmath]b^2=\frac{d^2}{2}-\frac{d^2}{2}\cos\alpha[/dispmath][dispmath]b^2=\frac{d^2}{2}(1-\cos\alpha)[/dispmath][dispmath]b=d\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}[/dispmath][dispmath]b=d\sin\frac{\alpha}{2}[/dispmath]
[dispmath]a^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2-2\left(\frac{d}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)\cos(\pi-\alpha)[/dispmath][dispmath]a^2\mathop=2\cdot\frac{d^2}{4}+2\cdot\frac{d^2}{4}\cos\alpha[/dispmath][dispmath]a^2=\frac{d^2}{2}+\frac{d^2}{2}\cos\alpha[/dispmath][dispmath]a^2=\frac{d^2}{2}(1+\cos\alpha)[/dispmath][dispmath]a=d\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}[/dispmath][dispmath]a=d\cos\frac{\alpha}{2}[/dispmath]
[dispmath]B=ab=d\cos\frac{\alpha}{2}\cdot d\sin\frac{\alpha}{2}=d^2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}d^2\sin\alpha[/dispmath]
[dispmath]\text{tg }\beta=\frac{H}{\frac{d}{2}}\quad\Longrightarrow\quad H=\frac{d}{2}\text{ tg }\beta[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{3}B\cdot H[/dispmath][dispmath]V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}d^2\sin\alpha\cdot\frac{d}{2}\text{ tg }\beta[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{V=\frac{d^3}{12}\sin\alpha\text{ tg }\beta}[/dispmath]

Hvala na odgovorima, sve je lepo i jasno objasnjeno (sta drugo i ocekivati na ovom forumu )
Znam da su smaracki zadaci, da ima dosta da se pise, al sta da radim, presao sam ovu oblast, valjda nece biti vise nejasnoca.

maxaa je napisao:Znam da su smaracki zadaci

To si ti rekô. Ja mislim baš suprotno.

Mislio sam, smaracki za vas zbog latex-a, jer ima dosta da se pise

Malo copy/paste, malo rutina... I napiše se to vrlo brzo.

Hahaha, ja se ne bunim, ako vas ne mrzi, meni koristi

blake je napisao:

maxaa je napisao:14. Ako je [inlmath]\alpha[/inlmath] oštar ugao između prostornih dijagonala kocke, tada je [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;\frac{\sqrt2}{2}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;\frac{\sqrt2}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(D)}\;2\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;3\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

Ovde nisam siguran da li se prostorne dijagonale polove, pokusao sam na taj nacin da uradim ali ne dobijam dobro resenje.

Primjetiš da se traži kut [inlmath]\alpha[/inlmath] jer je to oštri kut dijagonala, za razliku od [inlmath]\beta[/inlmath]...
I ideš po poučku kosinusa
[dispmath]a^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{2}\cos\alpha[/dispmath][dispmath]\cos\alpha=\frac{1}{3}[/dispmath] Pa će iz toga proizaći da je [inlmath]\text{tg }\alpha=2.828427125=2\sqrt2[/inlmath]

Kvadriraš kosinus i oduzmes od jedan. Dobićeš kvadrat sinusa ugla, u ovom slucaju [inlmath]\frac{8}{9}[/inlmath]. Korenujes, iz uslova zadatka znas da je ugao oštar, pa uzimaš pozitvnu vrednost, i dobiješ [inlmath]\frac{2\sqrt2}{3}[/inlmath]. Podeliš sinus i kosinus i dobijaš [inlmath]\tan x=2\sqrt2[/inlmath]

Seku se prostorne dijagonale kocke.
Takođe i prostorne dijagonale kvadra.
Čak i bilo kog paralelepipeda.

^ Verovatno si hteo reći – polove se.

Elem, super je što ste „iskopali“ ovu matoru temu. Jer, tek sada nakon 12 godina, videh da se ovaj 14. zadatak može rešiti i dosta elegantnije, preko tangensa dvostrukog ugla. Dakle,

maxaa je napisao:14. Ako je [inlmath]\alpha[/inlmath] oštar ugao između prostornih dijagonala kocke, tada je [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;\frac{\sqrt2}{2}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;\frac{\sqrt2}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(D)}\;2\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;3\sqrt2\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

Dijagonale kocke čija je ivica [inlmath]a[/inlmath] istovremeno su i dijagonale pravougaonika čije su stranice [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]a\sqrt2[/inlmath]:


Kako je [inlmath]\alpha=180^\circ-2\beta[/inlmath] (zbir uglova u trouglu), a [inlmath]\text{tg }\beta=\frac{\cancel a\sqrt2}{\cancel a}=\sqrt2[/inlmath], to je:
[dispmath]\text{tg }\alpha=\text{tg }(180^\circ-2\beta)=-\text{tg }(2\beta)=-\frac{2\text{ tg }\beta}{1-\text{tg}^2\beta}=-\frac{2\sqrt2}{1-2}=2\sqrt2[/dispmath]