MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF - 16. jun 2018.
11. zadatak

Svi uglovi trougla čije su stranice dužina [inlmath]10[/inlmath], [inlmath]15[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath] su manji ili jednaki od [inlmath]90^\circ[/inlmath] ako i samo ako [inlmath]x[/inlmath] pripada:

tacno resenje je [inlmath]\Bigl[5\sqrt5,5\sqrt{13}\Bigr][/inlmath]

Kontam da treba preko sinusne ili kosinusne teorme, ali mi to slabo ide tako da ako moze neka pomoc bio bih jako zahvalan.

Da li možeš, za početak, da odrediš za koju vrednost [inlmath]x[/inlmath] će ugao između stranica čije su dužine [inlmath]10[/inlmath] i [inlmath]15[/inlmath] biti prav?

Dobijam da je [inlmath]x=5\sqrt{13}[/inlmath]

Mislim da sam skontao, posto je iz uslova zadatka receno da je najveci moguci ugao [inlmath]90[/inlmath] stepeni, samim tim je i ovo gore najveca moguca vrednost stranice i onda iz ponudjenih resanja mogu da zakljucim koje je tacno. Je l' tako?

Nemoj se uzdati u ponuđena rešenja, prvo ti odredi rezultat, a tek na kraju ga uporedi s ponuđenim rešenjima. Na pravom prijemnom bi mogao imati više ponuđenih odgovora kod kojih je gornja granica [inlmath]5\sqrt{13}[/inlmath] (ili koja već vrednost bude bila u tom zadatku).
Već si pola zadatka uradio. Ako nacrtaš sliku, videćeš da bi daljim povećanjem dužine [inlmath]x[/inlmath] taj ugao postao tup, tako da [inlmath]x[/inlmath] mora biti manje ili jednako [inlmath]5\sqrt{13}[/inlmath].

Sledeće pitanje: može li ugao naspram stranice dužine [inlmath]10[/inlmath] biti prav ili tup?

U Latexu se [inlmath]\sqrt{13}[/inlmath] piše \sqrt{13}, a ne \sqrt 13. Uporedi: [inlmath]\sqrt{13}[/inlmath] i [inlmath]\sqrt 13[/inlmath]. O tome imaš na samom početku Latex-tutorijala.

Hvala puno, uradio sam zadatak
Izvinjavam se zbog Latexa, trudim se, ali uvek napravim neki propust

Ti ga jesi uradio, ali bi odgovori mogli i drugima da koriste. Ništa, odgovoriću ja umesto tebe:

Daniel je napisao:Sledeće pitanje: može li ugao naspram stranice dužine [inlmath]10[/inlmath] biti prav ili tup?

Ne može, jer ta stranica nije najduža u trouglu (budući da postoji stranica dužine [inlmath]15[/inlmath]), a znamo da se naspram tupog ili pravog ugla mora nalaziti najduža stranica trougla.

Donja granica dužine [inlmath]x[/inlmath] dobija se kada se posmatra slučaj kada je naspram stranice dužine [inlmath]15[/inlmath] prav ugao.

Daniel je napisao:Sledeće pitanje: može li ugao naspram stranice dužine [inlmath]10[/inlmath] biti prav ili tup?

Tup ne može biti nikako, uslov zadatka je da su svi uglovi manji ili jednaki sa [inlmath]90^\circ[/inlmath]. Hteo sam samo ovo da dodam, čak iako je zadatak rešen.

Upravo zato sam i postavio to pitanje, zato što se traži [inlmath]x[/inlmath] takvo da nijedan ugao ne bude tup. Time sam želeo da pokažem da ugao naspram stranice [inlmath]10[/inlmath] ne moramo uopšte ni razmatrati, jer on, bez obzira na dužinu [inlmath]x[/inlmath], ne može nikako biti tup (ni prav).
Nadam se da smo otklonili nesporazum.

Zadatak se moze raditi na vise nacina, ja cu izneti 2 pomocu kojih sam ja rezonovao, ali nisam siguran da je sto posto tacno, ali zato i jeste tu nas dragi admin da nas posavetuje

Prvi nacin:
Kao sto je admin vec rekao, naspram stranice od 10 ne moze biti najveci ugao, to je jasno.
Upotrebom kosinusne teoreme kada nam je 15 najduza stranica, pa potom x najduza stranica mozemo resiti zadatak, gde cemo uzeti da granicne vrednosti za ostrougli trougao, odnosno 0 stepeni i 90 stepeni i umetnuti ga u kosinusnu formulu, na taj nacin cemo dobiti od koliko do koliko se moze kretati ta stranica. Uradimo presek resenja ta 2 sistema, prvog kada nam je x najduza stranica, drugog kad nam je 15 najduza stranica

Drugi nacin:
Pomoću pitagorine teoreme dakle, ako je ugao manji od 90 stepeni, tada ce i zbir kvadrata 2 stranice, biti veci od kvadrata trece, sto bi predstavili na sledeci nacin:
[dispmath]10^2+15^2>x^2[/dispmath]
Kada nam je x vece od 15 i
[dispmath]x^2+10^2>15^2[/dispmath]
Kada je x manje od 15