MATEMANIJA

U pravu zarubljenu kupu čiji je poluprečnik veće osnove [inlmath]R[/inlmath], a izvodnica [inlmath]s=5[/inlmath], upisana je lopta. Izraziti visinu [inlmath]H[/inlmath] zarubljene kupe u funkciji poluprečnika [inlmath]R[/inlmath].

Zadatak je vrlo jednostavan za rešavanje. Rešava se tako što se prepozna da je osni presek zarubljene kupe sa upisanom loptom zapravo tangentni četvorougao i iz te činjenice lako proizilazi traženo. Ali, ono što je mene zbunilo i zašto mislim da je u pitanju greška jeste kad se prvi put neko susretne sa ovakvim zadatkom vrlo lako može da dođe do nesigurnosti da li gornja osnova zarubljene kupe dotiče loptu ili ne, e sad ja nikako ne mogu da shvatim čime se to u rečenici postavke zadatka odbacuje? Ako dotiče onda se zadatak rešava na pomenuti način, a ako ne dotiče onda zadatak nema rešenja. Vrlo je verovatno da sam nešto loše razumeo. Ali eto, baš me zanima u čemu je stvar i da li grešim. Jer ja recimo taj zadatak ne bih rešio samo zbog te nejasnoće.

Malo i slike nije na odmet:

Evo naleteo sam na još dva slična zadatka, i mislim da mogu da zaključim da se zadaci tako nekakvog tipa podrazumevaju da se dodiruju.
Evo na primer: "Lopta površine [inlmath]S[/inlmath] upisana je u pravu zarubljenu kružnu kupu. Ugao koji izvodnica te kupe obrazuje sa većom osnovom jednak je [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Izračunati površinu omotača zarubljene kupe".

Nema nikakve greške. Zna se šta znači kada je lopta upisana u geometrijsko telo. Da je pisalo da se "... u zarubljenoj kupi nalazi lopta..." ili nešto slično, onda ne bismo mogli da rešimo zadatak bez dodatnih informacija.

Uostalom, znamo i šta znači tangentni četvorougao – to je četvorougao u koji je moguće upisati kružnicu. Kada pod upisanom kružnicom ne bismo podrazumevali kružnicu koja dodiruje sve stranice, onda bismo mogli reći i da je svaki četvorougao tangentni, a znamo da to nije tačno.

@miletrans, hvala.
@Daniel, vrlo lepo pojašnjenje, nekako ima smisla, jer kad god bi neko rekao upisan krug u četvorougao to po "automatu" znači da dodiruje sve stranice, na to sam se nekako navikao pa nikada ni nisam postavljao pitanja. A logično je da će se transformacija usvojiti i sa figure na telo.

Rešenje zadatka:
Neka je [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik manje osnove date zarubljene kupe. Kako je u pravu zarubljenu kupu upisana lopta, osni presek zarubljene kupe je jednakokraki trapez u koji je upisan krug. Otuda je taj trapez tangentan četvorougao, pa važi [inlmath]2R+2r=2s[/inlmath], odnosno [inlmath]r=5-R[/inlmath]. S druge strane, iz pravouglog trougla čija je hipotenuza izvodnica, a katete visina i razlika poluprečnika osnova zarubljene kupe, koristeći Pitagorinu teoremu dobijamo [inlmath]H^2=s^2-(R-r)^2=25-(2R-5)^2=-4R^2+20R[/inlmath], te je [inlmath]H=2\sqrt{5R-R^2}[/inlmath].

Moje pitanje je zbog cega ovde nismo uzeli
[dispmath]H=\left|−4R^2+20R\right|\\
-4R^2+20R>0\quad\Longrightarrow\quad H=2\sqrt{5R-R^2}\\
−4R^2+20R<0\quad\Longrightarrow\quad H=-2\sqrt{5R-R^2}[/dispmath] Bilo bi mi stvarno od pomoći da mi neko odgovori jer sam nedavno naleteo na sličan zadatak i ni tada mi nije bilo jasno.

Nemoj zaboraviti uslov [inlmath]0<R<5[/inlmath], jer tada je [inlmath]-4R^2+20R>0[/inlmath].
Takođje, iz [inlmath]H^2=-4R^2+20R[/inlmath] sledi da je [inlmath]H=\pm\sqrt{-4R^2+20R}[/inlmath], a ne [inlmath]H=\left|-4R^2+20R\right|[/inlmath] kako si napisao.

A jel ovaj uslov [inlmath]0<R<5[/inlmath] proizlazi iz [inlmath]r=5-R\;\Longrightarrow\;5-R>0[/inlmath] odnosno [inlmath]R<5[/inlmath], a kako [inlmath]R[/inlmath] mora biti [inlmath]>0[/inlmath] znači da će se [inlmath]R[/inlmath] nalaziti u intervalu [inlmath](0,5)[/inlmath]?

Da. Da je [inlmath]R\ge s[/inlmath] u trapez se ne bi mogao upisati krug.

Hvalaa puno