MATEMANIJA

U pravilnoj trostranoj piramidi, povrsina bocne strane je [inlmath]75\text{ cm}^2[/inlmath]. Odstojanje centra osnove piramide od ravni bocne strane je [inlmath]8\text{ cm}[/inlmath]. Zapremina piramide je:

Sad nije mi najjasnije sta predstavlja rastojanje centra osnove od ravni bocne strane, radim da je to trecina visine jednakostranicnog trougla koji je baza piramide, ali na taj nacin nikako da dobijem rjesenje ili ovo predstavlja najkrace rastojanje centra od ravni bocne strane, koje ce zavisiti od ugla

Hint:

Opet mi nikako ne ide da izrazim ovu visinu preko [inlmath]a[/inlmath], mada je ocigledno da moze

Hint: Upotrebi sličnost trouglova.

Nikako ovu kracu katetu da dobijem

[dispmath]H:h=8:\frac{a\sqrt3}{6}[/dispmath]

Uradio sam, nego zaboravih napisat, hvala na pomoci

Meni samo nije jasno sta prvo treba da nadjemo iz date proporcije.

Uvrštavanjem u proporciju [inlmath]h=\frac{150}{a}[/inlmath] (što sledi iz podatka[inlmath]\frac{ah}{2}=75[/inlmath]), proporcija se svodi na [inlmath]H:\frac{150}{a}=8:\frac{a\sqrt3}{6}[/inlmath] odakle se nakon malo računa i sređivanja dobije proizvod [inlmath]a^2H=2400\sqrt3[/inlmath], i ostalo je još taj proizvod uvrstiti u formulu za zapreminu, [inlmath]V=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt3}{4}H[/inlmath]...

---

Nego, ja tek sad videh da ovaj zadatak ima u sebi grešku. Piramida s ovako zadatim podacima – ne može postojati. Ako odstojanje centra osnove piramide od ravni bočne strane iznosi [inlmath]8\text{ cm}[/inlmath], može se preko izvoda pokazati da je minimalna moguća površina bočne strane [inlmath]288\text{ cm}^2[/inlmath], a u zadatku je rečeno da iznosi [inlmath]75\text{ cm}^2[/inlmath].
Na osnovu sličnosti trouglova:
[dispmath]\frac{a\sqrt3}{6}:h=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt3}{6}\right)^2-8^2}:\frac{a\sqrt3}{6}\\
\frac{a^2}{12}=h\sqrt{\frac{a^2}{12}-64}[/dispmath] Na osnovu [inlmath]P=\frac{ah}{2}[/inlmath], gde je [inlmath]P[/inlmath] površina bočne strane, uvrštavamo [inlmath]h=\frac{2P}{a}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{a^2}{12}=\frac{2P}{a}\sqrt{\frac{a^2}{12}-64}\\
P=\frac{a^3}{24\sqrt{\frac{a^2}{12}-64}}=\frac{1}{24}\left(\frac{a^{-4}}{12}-64a^{-6}\right)^{-\frac{1}{2}}\\
\frac{\mathrm dP}{\mathrm da}=\frac{1}{24}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{a^{-4}}{12}-64a^{-6}\right)^{-\frac{3}{2}}\left(-\frac{a^{-5}}{3}-(-6)\cdot64a^{-7}\right)=0\\
\Longrightarrow\quad\left.\frac{a^{-5}}{3}=6\cdot64a^{-7}\quad\right/\cdot3a^7\\
a^2=3\cdot6\cdot64\quad\Longrightarrow\quad a=24\sqrt2[/dispmath] (Sad ko hoće može da se petlja s drugim izvodom, ali je nepotrebno jer je prilično jasno da je ovo minimum budući da površina bočne strane nema ograničenja s gornje strane, dok svakako ne može ići do nule.)
Uvrštavanjem:
[dispmath]P_\min=\frac{\left(24\sqrt2\right)^3}{24\sqrt{\frac{\left(24\sqrt2\right)^2}{12}-64}}=288[/dispmath]

Isto sam kao i ti uradio i dobio sam taj veliki broj sto me je zbunio i onda nisam znao sta dalje da radim jer sam mislio da konstantno gresim negde, u svakom slucaju hvala na pomoci i izdvojenom vremenu.