MATEMANIJA

Na slici je prikazan jednakostranični trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] stranice [inlmath]a[/inlmath] i oko njega je opisana kružnica radijusa [inlmath]R[/inlmath] na kojoj se nalazi tačka [inlmath]D[/inlmath].
Ako je [inlmath]\overline {AD} = 1[/inlmath], [inlmath]\angle BAD = 45^\circ[/inlmath], odrediti [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]R[/inlmath], [inlmath]\overline {CD}[/inlmath].
Koristiti Ptolomejev stav: [inlmath]\overline {AD}\cdot \overline {CB} + \overline {DB} \cdot \overline {AC} = \overline {AB} \cdot \overline {CD}[/inlmath]
Prvi put se susrećem sa zadatkom u kojem se treba iskoristiti Ptolomejev stav, do sad sam uspio odrediti:[dispmath]\overline {AD}\cdot \overline {CB} + \overline {DB} \cdot \overline {AC} = \overline {AB} \cdot \overline {CD}[/dispmath][dispmath]a+\overline {DB} \cdot a = a \cdot \overline {CD}[/dispmath][dispmath]1+\overline{DB} = \overline {CD}[/dispmath]
Radijus opisane kružnice se može dobiti po formuli [inlmath]R=\frac {a}{\sqrt3}[/inlmath].
Međutim, nisam još pronašao način da iskoristim podatak [inlmath]\angle BAD = 45^\circ[/inlmath].

Hvala unaprijed.

Iskoristi osobinu perifernih uglova nad istom tetivom.

Hvala na pomoći, uspio sam da riješim. Nadam se da je tačno, nemam rješenje u zbirci.

Imamo da je [inlmath]1+\overline{DB} = \overline {CD}\;[/inlmath] i [inlmath]\;R=\frac {a}{\sqrt3}[/inlmath]. Na slici ispod su označene veličine raznih uglova.

[inlmath]\triangle AED[/inlmath] je pravougli i jednakokraki, pa je [inlmath]\overline {AE} =\overline {DE} =1 \cdot \cos {45^\circ} = \frac {1}{\sqrt 2}[/inlmath], dužina [inlmath]\overline {EB} =a-\frac{1}{\sqrt 2}[/inlmath].[dispmath]\triangle DBO: \quad \overline {DB}^2= 2 R^2\quad[/dispmath][dispmath]\quad \overline {DB} ^2= 2 \frac {a^2}{3}[/dispmath][dispmath]\triangle DBE: \quad \overline{DB}^2=\overline{EB}^2+\overline{DE}^2\quad\quad\quad[/dispmath][dispmath]2 \frac {a^2}{3} = \big(a-\frac {1}{\sqrt 2}\big)^2+\big(\frac {1}{\sqrt 2}\big)^2[/dispmath][dispmath]a_1=\frac{3\sqrt 2 - \sqrt 6}{2} \approx 0.9\quad \lor \quad a_2=\frac{3\sqrt 2 + \sqrt 6}{2}\approx 3.3[/dispmath]
Rješenje [inlmath]a_1[/inlmath] nije od interesa jer je manje od [inlmath]\overline {AD} = 1[/inlmath], tako da je dužina stranice trougla: [inlmath]a=\frac{3\sqrt 2 + \sqrt 6}{2}[/inlmath]
Rješenje zadatka je:[dispmath]a=\frac{3\sqrt 2 + \sqrt 6}{2}, \quad \overline {CD} = \sqrt 3 +2, \quad R=\frac {\sqrt 6 +\sqrt 2} {2}[/dispmath]

Konačno rešenje ti je tačno. Moglo je malo jednostavnije - trouglovi koje si dodao na drugoj slici su nepotrebni (samo si zakomplikovao bzvz), na prvoj slici se jasno vidi koji su uglovi nad istom tetivom. Naravno, treba imati u vidu da su uglovi jednakostraničnog trougla jednaki i iznose [inlmath]60^\circ[/inlmath].
Ptolomejev stav nije ni potreban, dovoljno je primeniti sinusnu teoremu na trougao [inlmath]ABD[/inlmath], a potom i na trougao [inlmath]DCB[/inlmath].