MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 30. jun 2020.
14. zadatak

Poz, ovaj zadatak mi uopste nije jasan. Kako se ovo zapocinje?

Zadatak glasi:

Neka su [inlmath]AA_1[/inlmath] i [inlmath]CC_1[/inlmath] težišne duži i [inlmath]CC'[/inlmath] visina trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]. Ako je [inlmath]\angle BAC=45^\circ[/inlmath] i [inlmath]|AB|=3\cdot|CC'|[/inlmath], onda je [inlmath]|AA_1|:|CC_1|[/inlmath] jednako: [inlmath]\sqrt{17}:\sqrt5[/inlmath]

Hvala unapred!

Izrazi sve preko visine [inlmath]CC'[/inlmath].
Tezisnu duz [inlmath]CC_1[/inlmath] ces dobiti iz pravouglog [inlmath]\triangle{C'C_1C}[/inlmath] primenom pitagorine teoreme.

A tezisnu duz [inlmath]AA_1[/inlmath] ces izracunati tako sto ces:

1. odrediti [inlmath]A_1C_1[/inlmath] (polovina od stranice [inlmath]AC[/inlmath])
2. Kad spustis visinu [inlmath]\triangle{ABA_1}[/inlmath] na stranicu [inlmath]AB[/inlmath] (neka je ta visina [inlmath]A_1D[/inlmath]), treba da uocis da su [inlmath]\triangle{AC'C}[/inlmath] i [inlmath]\triangle{C_1DA_1}[/inlmath] slicni. Odatle odredi stranice [inlmath]A_1D[/inlmath] i [inlmath]C_1D[/inlmath].
3. Primenom pitagorine teoreme na [inlmath]\triangle{ADA_1}[/inlmath] ces izracunati tezisnu duz [inlmath]AA_1[/inlmath].

Može i bez posmatranja trougla [inlmath]\triangle C_1DA_1[/inlmath]. Iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle CC'B[/inlmath] i [inlmath]\triangle A_1DB[/inlmath] odmah se vidi čemu je jednako [inlmath]A_1D[/inlmath].

Poz ljudi, hvala puno ali ja nista ne kontam jos uvek.
1. Kako znamo sa cim je jednako [inlmath]C_1C'[/inlmath]?
2. Nakon sto odredim da je [inlmath]A_1D[/inlmath] jednako sa [inlmath]\frac{b}{\sqrt2}[/inlmath], kako da upotrebim ovo u daljem racunu?
3. Cemu je jednako [inlmath]AC'[/inlmath]?

Ćaos! Ja se izvinjavam, 100% kasnim, ali naišla sam na ovaj zadatak i bio mi je jako lep, pa sam ga sada uradila.
Znači, glavni ti je fazon odnos stranica koji si dobio na početku. Znaš da ti je [inlmath]CC'=\frac{AB}{3}[/inlmath], što ti je bitno i to prenosiš i na stranicu [inlmath]AB[/inlmath], zbog polovine kvadrata koju imaš u trouglu ([inlmath]\triangle ACC'[/inlmath]). Sada dopunom do kvadrata ili preko trigonometrijskih funkcija dolaziš do toga da je:
[dispmath]CC'=AC'\;\Longrightarrow\;AC=\frac{AB\sqrt2}{3},[/dispmath] jer je [inlmath]AC[/inlmath] dijagonala kvadrata, a takođe znamo da je i [inlmath]CC'=AC'=\frac{AB}{3}[/inlmath]. Dalje, imaš da ti je [inlmath]C'C_1=AC_1-AC'=\frac{AB}{6}[/inlmath]. Odatle preko Pitagorine teoreme dolaziš do toga da je [inlmath]CC_1=\frac{AB\sqrt5}{6}[/inlmath]. Kraj se već nazire, jedan deo je gotov .
Što se tiče izražavanja stranice [inlmath]AA_1[/inlmath], malo je zapetljanije, ali opet izvodivo . Trebaš povući normalu iz [inlmath]A_1[/inlmath] na stranicu [inlmath]AB[/inlmath]. Ja ću svoju lično imenovati sa [inlmath]P[/inlmath]. Sada gledaš dva trougla: [inlmath]\triangle CC'B\sim\triangle A_1PB[/inlmath], po stavu [inlmath]UUU[/inlmath]. Preko te sličnosti dolaziš do toga da je:
[dispmath]\frac{CC'}{A_1P}=\frac{CB}{A_1B}=\frac{C'B}{BP}\;\Longrightarrow\;A_1P=\frac{AB}{6}[/dispmath] i, koristeći istu sličnost, na bukvalno isti način, dolazimo do toga da je [inlmath]PB=\frac{AB}{3}\;\Longrightarrow\;AB-PB=AP=\frac{2AB}{3}[/inlmath]. Dalje Pitagorinom teoremom dobijaš vrednost za stranicu [inlmath]AA_1=\frac{AB\sqrt{17}}{6}[/inlmath].
Najzad, kada smo dobili obe stranice, samo podelimo vrednosti za [inlmath]AA_1[/inlmath] i [inlmath]CC_1[/inlmath] i time završavamo zadatak!
[dispmath]AA_1:CC_1=\sqrt{17}:\sqrt5[/dispmath]
Nadam se da je ovo (nekome) od pomoći i da nisam prekršila neko pravilo grupe!

Ovaj zadatak možemo lako rešiti i postavljanjem trougla u koordinatni sistem.
Neka je [inlmath]A(0,0)[/inlmath] i [inlmath]C(1,1)[/inlmath] i neka teme [inlmath]B[/inlmath] leži na [inlmath]x[/inlmath]-osi. Tada je [inlmath]C'(1,0)[/inlmath] i [inlmath]B(3,0)[/inlmath]. Preko formule za središte duži dobijamo koordinate tačke [inlmath]A_1\left(2,\frac{1}{2}\right)[/inlmath] i [inlmath]C_1\left(\frac{3}{2},0\right)[/inlmath], a uz pomoć formule za dužinu duži [inlmath]AA_1=\frac{\sqrt{17}}{2}[/inlmath] i [inlmath]CC_1=\frac{\sqrt5}{2}[/inlmath], pa je [inlmath]AA_1:CC_1=\sqrt{17}:\sqrt5[/inlmath].