MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON – 12. jun 2021.
18. zadatak

U trouglu [inlmath]ABC[/inlmath], tačka [inlmath]D[/inlmath] je podnožje normale iz temena [inlmath]C[/inlmath] na stranicu [inlmath]AB[/inlmath], a tačka [inlmath]E[/inlmath] je središte stranice [inlmath]BC[/inlmath]. AKo je [inlmath]|DA|=|DC|=|DE|=1\text{ cm}[/inlmath], tada je zbir dužina poluprečnika krugova upisanih u trouglove [inlmath]ADC[/inlmath], [inlmath]DEC[/inlmath] i [inlmath]EDB[/inlmath] jednak (u [inlmath]\text{cm}[/inlmath]);
Tačan odgovor je [inlmath]\frac{7\sqrt3-3\sqrt2-3}{6}[/inlmath]

Kod ovog zadatka samo nisam skapirao na koju se foru dobija da je taj ugao (zeleni trougao) [inlmath]120^\circ[/inlmath]. Ne mogu da se setim koja je to osobina trougla.
Hvala unapred.

Uglovi [inlmath]CED[/inlmath] I [inlmath]DEB[/inlmath] su sumplementni, tj. zbir im je [inlmath]180^\circ[/inlmath] (polovina punog ugla). Mislim da je to i više nego očigledno na slici, tj. svako dodatno objašnjenje je samo nepotrebno komplikovanje.

Samo mi je taj odgovor i trebao. Hvala!

Izvini, odakle si dobio ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath]?

Iz činjenice da je taj trougao jednakostranični (sve stranice su mu [inlmath]1[/inlmath]) sledi da svaki ugao u tom trouglu mora biti [inlmath]60^\circ[/inlmath].

Mislim da nije toliko očigledno zbog čega je takođe i [inlmath]EC=1[/inlmath], pa ću to objasniti.
Priložio bih bolju sliku, jer, Acime, kako ti negde već napisah, vrlo je važno sliku nacrtati da koliko god je moguće bude u razmeri. Ovako kako si je ti nacrtao, pre će te zbuniti nego što će ti pomoći. Visina iz temena [inlmath]C[/inlmath] ne polovi stranicu [inlmath]AB[/inlmath] (na šta bi tvoja slika mogla pogrešno navesti), a takođe, ni [inlmath]DE[/inlmath] nije pod pravim uglom u odnosu na [inlmath]BC[/inlmath] (kao što to na tvojoj slici izgleda).
Dakle, ispravno nacrtana slika:


Pošto tačka [inlmath]E[/inlmath] polovi stranicu [inlmath]BC[/inlmath], to pravougli trougao [inlmath]\triangle BCD[/inlmath] možemo posmatrati kao polovinu pravougaonika (čija je dijagonala [inlmath]BC[/inlmath]), jer se kod pravougaonika dijagonale međusobno polove. Kako su kod pravogaonika dijagonale još i međusobno jednake, to sledi da će polovina dijagonale [inlmath]BC[/inlmath], a to je [inlmath]EC[/inlmath], biti jednaka polovini druge dijagonale, tj. jednaka duži [inlmath]DE[/inlmath]. Kako je dužina [inlmath]DE[/inlmath] jednaka [inlmath]1[/inlmath], sledi da je i dužina [inlmath]EC[/inlmath] jednaka [inlmath]1[/inlmath].
Isto tvrđenje je moguće dokazati i preko sličnosti trouglova.

Daniel je napisao:Mislim da nije toliko očigledno zbog čega je takođe i [inlmath]EC=1[/inlmath], pa ću to objasniti.

U vezi toga, iskoristio sam činjenicu da je [inlmath]DE[/inlmath] težišna duž povučena iz hipotenuze, a znamo da je ona jednaka poluprečniku opisane kružnice oko pravouglog trougla koja pada na pola hipotenuze. Kako je ona jednaka [inlmath]1[/inlmath] iz toga sledi da su [inlmath]CE[/inlmath] i [inlmath]BE[/inlmath] jednake [inlmath]1[/inlmath].

Daniel je napisao:Priložio bih bolju sliku, jer, Acime, kako ti negde već napisah, vrlo je važno sliku nacrtati da koliko god je moguće bude u razmeri. Ovako kako si je ti nacrtao, pre će te zbuniti nego što će ti pomoći

U potpunosti se slažem, ali, nisam još uvek toliko vešt u tome, naravno, trudiću se da ubuduće budu bolje.