MATEMANIJA

Dat je jednakokraki trapez čije su dijagonale uzajamno ortogonalne, dužina kraka je [inlmath]s[/inlmath], a ugao između veće osnovice i kraka jednak je [inlmath]\alpha[/inlmath]. Zapremina geometrijskog tela koje nastaje obrtanjem tog trapeza oko njegove ose simetrije je?
Rešenje zadatka je [inlmath]\frac{\pi}{12}s^3\sin\alpha(2-\cos2\alpha)[/inlmath]

Pokušala sam da rešim koristeći sinusnu teoremu u trouglu čije su stranice [inlmath]s[/inlmath] i odsečci dijagonala, pa onda ti odsečci čine dva jednakokraka trougla gde mogu da dobijem dužine osnovica ali sam tu zapela jer se mnogo zakomplikuje, a nemam nikakvu drugu ideju.

Hvala unapred!

Iskoristi sledeće: Površina četvorougla sa uzajamno normalnim dijagonalama jednaka je polovini proizvoda dužina dijagonala. Osnovice izrazi preko odsečaka na dijagonali (možeš preko sinusne, kao što si i napisala) i imaš još jednu jednačinu - razliku veće i manje osnovice izrazi preko kraka i ugla [inlmath]\alpha[/inlmath]. Kad rešiš sistem dobićeš osnovice trapeza, posle samo nađi zapreminu zarubljene kupe.

Uspela sam da rešim, hvala puno!

glupko je napisao:Pokušala sam da rešim koristeći sinusnu teoremu u trouglu čije su stranice [inlmath]s[/inlmath] i odsečci dijagonala,

Ukoliko sam dobro razumeo ovaj deo, trougao čije su stranice [inlmath]s[/inlmath] i odsečci dijagonala, jeste trougao [inlmath]\triangle BTC[/inlmath] na slici, a on je pravougli, tako da nema potrebe za sinusnom teoremom, može se jednostavno napisati [inlmath]\displaystyle\sin\angle TBC=\sin(\alpha-45^\circ)=\frac{d_2}{s}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\cos\angle TBC=\cos(\alpha-45^\circ)=\frac{d_1}{s}[/inlmath] (gde je [inlmath]d_1=BT[/inlmath] i [inlmath]d_2=CT[/inlmath]), a pošto je [inlmath]a=d_1\sqrt2[/inlmath] i [inlmath]b=d_2\sqrt2[/inlmath] (dijagonala kvadrata), odatle odmah dobijamo [inlmath]a=s(\cos\alpha+\sin\alpha)[/inlmath] i [inlmath]b=s(\sin\alpha-\cos\alpha)[/inlmath].

Vivienne je napisao:Iskoristi sledeće: Površina četvorougla sa uzajamno normalnim dijagonalama jednaka je polovini proizvoda dužina dijagonala. Osnovice izrazi preko odsečaka na dijagonali (možeš preko sinusne, kao što si i napisala) i imaš još jednu jednačinu - razliku veće i manje osnovice izrazi preko kraka i ugla [inlmath]\alpha[/inlmath]. Kad rešiš sistem dobićeš osnovice trapeza, posle samo nađi zapreminu zarubljene kupe.

Ne mogu baš reći ni da sam ovaj način u potpunosti razumeo, ali može se iskoristiti citirana tvrdnja za površinu, tako što se izjednači [inlmath]\displaystyle\frac{1}{2}d\cdot d[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\frac{a+b}{2}\cdot H[/inlmath], gde je [inlmath]H=s\sin\alpha[/inlmath], a [inlmath]d[/inlmath] se nađe iz sinusne teoreme za trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] s gornje slike, tj. [inlmath]\displaystyle\frac{s}{\sin45^\circ}=\frac{d}{\sin\alpha}[/inlmath], tako da dobijamo [inlmath]a+b=2s\sin\alpha[/inlmath]. Zato me zbunjuje deo u kojem pominješ odsečke dijagonala, ne vidim kakvu ulogu oni igraju ako radimo na ovaj način. Dobijanje druge jednačine nije sporno, [inlmath]\displaystyle x=\frac{a-b}{2}=s\cos\alpha[/inlmath].

Koliko se sećam , ideja je bila sledeća [inlmath]|AT|=m[/inlmath] i [inlmath]|TC|=n[/inlmath], pa su osnovice [inlmath]a=m\sqrt2[/inlmath] i [inlmath]b=n\sqrt2[/inlmath], pa njihov zbir preko dijagonale... malo sam se vrtela u krug ...
Hvala Danielu što je sve detaljno objasnio.