MATEMANIJA

Neka je [inlmath]O[/inlmath] centar upisanog kruga pravouglog trapeza [inlmath]ABCD[/inlmath] ([inlmath]BC[/inlmath] - duži krak, [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath] - osnovice). Ako je [inlmath]OC=5\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]OB=12\text{ cm}[/inlmath], poluprečnik kruga upisanog u trapez je:
[inlmath]A)\;\sqrt{60}\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\frac{17}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;4,5\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\frac{60}{13}\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;4\sqrt3[/inlmath]

Iskreno ne znam odakle da počnem. Ne mogu da nađem nikakve korisne formule

Trougao [inlmath]\triangle BOC[/inlmath] je pravougli (uočavaš li zašto?)
Visina tog trougla iz temena [inlmath]O[/inlmath] predstavlja traženi poluprečnik kruga.

Uz pravilno nacrtanu skicu, dalje se do rezultata može doći i bez papira i olovke.

Pa činilo mi se da je pravougli, i sa tom pretpostavkom sam rešila samo, nemam dokaz da je pravougli

Pošto zbir svih uglova trapeza mora biti [inlmath]360^\circ[/inlmath], a dva njegova ugla su prava, jasno je da zbir preostala dva ugla (a to su uslovi [inlmath]\angle ABC[/inlmath] i [inlmath]\angle BCD[/inlmath]) mora biti [inlmath]180^\circ[/inlmath].

Uglovi [inlmath]\angle OBC[/inlmath] i [inlmath]\angle OCB[/inlmath] (a to su uglovi trougla [inlmath]\triangle BOC[/inlmath]) predstavljaju polovine uglova [inlmath]\angle ABC[/inlmath] i [inlmath]\angle BCD[/inlmath] respektivno, tako da je njihov zbir jednak [inlmath]90^\circ[/inlmath]. Odatle sledi da treći ugao tog trougla, a to je [inlmath]\angle BOC[/inlmath], mora biti [inlmath]90^\circ[/inlmath].

Hvala