MATEMANIJA

Teme [inlmath]A[/inlmath] ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] je izvan datog kruga. Kraci ovog ugla određuju na krugu dva luka koji su unutar ugla i u razmeri [inlmath]3:10[/inlmath]. Veći od tih lukova odgovara centralnom uglu od [inlmath]40^\circ[/inlmath]. Koliko stepeni ima ugao [inlmath]\alpha[/inlmath]?
[inlmath]A)\;12\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;13\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;14\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;15\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;20[/inlmath]

Uspjela sam da izracunam ugao za manji luk... Ali pojma nemam da dodjem do resenja za [inlmath]\alpha[/inlmath]

Baš je nedavno na jednoj matematičkoj grupi bio okačen ovaj zadatak, sme li se znati odakle je?

Zadatak je sa prijemnog za matematiku za upis u srednju školu. Iz 1996. god. Ima još nekih zadataka koje nisam mogla da rešim. I kako da naučim učenika kad ja ne umem da ga rešim?

Nadam se da će ova slika pomoći:


Probaj da izračunaš uglove kod temena [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]B^{'}[/inlmath]
Kako ne znam kako se ubacuje slika, probaj <desni klik> <Open image in new tab>.

I ja sam nacrtala ovo kao na prvoj ali nema formule koja racuna ugao van kruga. Ima fora ako je isti kruzni luk a teme ugla na kruznici taj je ugao duplo manji ili veci (ne mogu da se setim napamet sad) u odnosu na centralni ugao za taj luk

Neka jedan krak seče kružnicu u tačkama [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], a drugi krak u tačkama [inlmath]B^{'}[/inlmath] i [inlmath]C^{'}[/inlmath]. Neka je [inlmath]∢BOB^{'}=\beta[/inlmath] i [inlmath]∢COC^{'}=\gamma[/inlmath].
Prema tekstu zadatka je [inlmath]\beta=40^{\circ}[/inlmath] i [inlmath]\beta:\gamma=10:3[/inlmath], odakle je [inlmath]\gamma=12^{\circ}[/inlmath]. Označimo [inlmath]∢BOC=\varphi[/inlmath]. Trouglovi čija su dva temena na kružnici, a treće teme je centar kružnice [inlmath]O[/inlmath] su jednakokraki pa je
[inlmath]∢OBB^{'}=∢OB^{'}B=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}[/inlmath]
[inlmath]∢OCC^{'}=∢OC^{'}C=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}[/inlmath]
[inlmath]∢OBC=∢OCB=90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}[/inlmath]
[inlmath]∢OB^{'}C^{'}=∢OC^{'}B^{'}=90^{\circ}-\frac{\beta+\gamma+\varphi}{2}[/inlmath]
Uglove trougla [inlmath]ABB^{'}[/inlmath] možemo izraziti pomoću [inlmath]\beta,\gamma,\varphi[/inlmath].
[inlmath]∢ABB^{'}=∢OBC+∢OBB^{'}=90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}+90^{\circ}-\frac{\beta}{2}=180^{\circ}-\frac{\varphi}{2}-\frac{\beta}{2}[/inlmath]
[inlmath]∢AB^{'}B=∢OBB^{'}-∢OB^{'}C^{'} =90^{\circ}-\frac{\beta}{2}-90^{\circ}+\frac{\beta+\gamma+\varphi}{2}=\frac{\gamma+\varphi}{2}[/inlmath]
I, na kraju
[inlmath]∢A=180^{\circ}-∢ABB^{'}-∢AB^{'}B=180^{\circ}-180^{\circ}+\frac{\varphi}{2}+\frac{\beta}{2}-\frac{\gamma+\varphi}{2}=\frac{\beta-\gamma}{2}=14^{\circ}[/inlmath]
Ovo je bio slučaj kada su tačke [inlmath]B,B^{'},C,C^{'}[/inlmath] sa iste strane prave [inlmath]OA[/inlmath]. Sličan postupak je i kad su na razlitim stranama (druga slika).

Hvala

Da li su ove formule poznate uceniku zavrsnog razreda osnovne skole?

Resenje u ovome sto imam kaze ugao [inlmath]\alpha=14[/inlmath]

anja94 je napisao:Da li su ove formule poznate uceniku zavrsnog razreda osnovne skole?

Ja u Faretovom postupku nisam video nijednu formulu – osim, ako ne misliš možda na osobinu da je ugao trougla jednak [inlmath]180^\circ[/inlmath] umanjeno za zbir preostala dva ugla (što direktno sledi iz osobine da je zbir uglova u trouglu jednak [inlmath]180^\circ[/inlmath]), a to je osnovcima vrlo dobro poznato.

Skontala sam sve. Hvala