MATEMANIJA

Osnova piramide je paralelogram čije su stranice [inlmath]10\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]18\text{ cm}[/inlmath], a površina (osnove) je [inlmath]90\text{ cm}^2[/inlmath]. Visina piramide je [inlmath]6\text{ cm}[/inlmath], a njeno podnožje je presek dijagonala osnove. Površina omotača piramide je? (Resenje kaze [inlmath]192\text{ cm}^2[/inlmath]).

Prvo omotač piramide se sastoji od 4 jednakokraka trougla. Pri čemu su 2 nad stranicom [inlmath]a[/inlmath] ([inlmath]a=18\text{ cm}[/inlmath]) i 2 nad stranicom [inlmath]b[/inlmath] ([inlmath]b=10\text{ cm}[/inlmath]). Pa je površina omotača [inlmath]M=2\cdot\frac{a\cdot h_a}{2}+2\cdot\frac{b\cdot h_b}{2}=a\cdot h_a+b\cdot h_b[/inlmath].
Iz podataka o bazi:
Površina baze [inlmath]B=a\cdot h_p=90\;\Longrightarrow\;h_p=5\text{ cm}[/inlmath].
([inlmath]h_p[/inlmath] je visina paralelograma).
Sad... Posmatrajući piramidu... Meni trebaju [inlmath]h_a[/inlmath] i [inlmath]h_b[/inlmath]. Njih mogu dobiti iz pravouglih trouglova ivice [inlmath]s[/inlmath], visine [inlmath]h[/inlmath], i polovine odgovarajuće stranice. A ivicu [inlmath]s[/inlmath] mogu da dobijem ako pogledam dijagonalni presjek, i uocim pravougli trougao ivice [inlmath]s[/inlmath], visine piramide [inlmath]H[/inlmath], i polovine dijagonale.
Da bih dobila dijagonalu u paralelogramu... Nasla sam deo [inlmath]x[/inlmath] gdje visina [inlmath]h_p[/inlmath] sjece stranicu [inlmath]a[/inlmath]. I onda iz pravouglog trougla [inlmath]d[/inlmath], [inlmath]h_p[/inlmath] i [inlmath]a+x[/inlmath] izracunala [inlmath]d[/inlmath].

Da li mi je logika tačna? Neka greška u računu? Ne znam kako dobijem jako komplikovano rešenje koje nije [inlmath]192\text{ cm}^2[/inlmath].

Napiši svoj postupak pa ćemo reći gde si pogrešila. Ne mogu da ispratim deo u vezi s računanjem dijagonale.
Preporučio bih ti da ovaj zadatak uradiš preko teoreme o tri normale. Dosta je zgodniji i efikasniji.

[dispmath]a=18\\
b=10\\
H=6\\
B=90\text{ cm}^2\\
M=?\\
M=2\cdot\frac{h_a\cdot a}{2}+2\cdot\frac{h_b\cdot b}{2}=h_a\cdot a+h_b\cdot b\\
B=a\cdot h_p\quad\Longrightarrow\quad h_p=\frac{B}{a}=\frac{90}{18}=5\\
b^2=h_p^2+x^2\quad\Longrightarrow\quad x^2=b^2-hp^2=100-25=75\quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt{75}=5\sqrt3\\
d^2=h_p^2+(a+x)^2=25+\left(18+5\sqrt3\right)^2=25+324+180\sqrt3+75=424+180\sqrt3=4\left(106+45\sqrt3\right)\\
d=2\sqrt{106+45\sqrt3}[/dispmath] mislim da je tu negdje problem....
Iz dijagonalnog presjeka piramide
[dispmath]s^2=H^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2=36+\frac{\cancel4\left(\sqrt{106+45\sqrt3}\right)^2}{\cancel4}=36+106+45\sqrt3=142+45\sqrt3[/dispmath] Iz jedne strane omotača
[dispmath]s^2=h_a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2\quad\Longrightarrow\quad h_a^2=s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2=142+45\sqrt3-81=61+45\sqrt3[/dispmath] pa je [inlmath]h_a[/inlmath] korjen iz toga. Isto se vidi i iz strane [inlmath]b[/inlmath]
[dispmath]h_a=\sqrt{61+45\sqrt3}\\
h_b=\sqrt{117+45\sqrt3}[/dispmath] Pa je onda
[dispmath]M=18h_a+10h_b[/dispmath] (da ne pisem opet sve korjene)
U ponudjenim odgovorima ima
[dispmath]18\cdot\sqrt{61}+10\cdot\sqrt{117}[/dispmath] ali oni kazu da je [inlmath]192\text{ cm}[/inlmath]

Mislim da grešiš u startu:

Prvo omotač piramide se sastoji od 4 jednakokraka trougla. Pri čemu su ....

Nisu u pitanju jednakokraki trougli. Izračunala si jedan par bočnih ivica koristeći dužu dijagonalu.
Možeš zadatak završiti na način kojim si počela, ali postupak je duži (i sa nezgodnim brojevima). Iskoristi Frankov predlog, tj. postavi visine paralelograma koje prolaze kroz presek dijagonala,...

Problem je sto je ovo zadatak za prijemni u srednju skolu, nisam sigurna da teoremu o tri normale zna prosjecan osnovac....

Nije bitno ime teoreme. Dobro si izračunala jednu visinu paralelograma [inlmath]h_{1}=5[/inlmath] koja odgovara stranici [inlmath]a[/inlmath]. Druga visina paralelograma koja odgovara stranici [inlmath]b[/inlmath] je [inlmath]h_{2}=9[/inlmath]. Postavi te visine paralelograma tako da prolaze kroz presek dijagonala, a onda iskoristi Pitagorinu teoremu da bi izračunala visine bočnih strana. Visina bočne strane koja odgovara ivici [inlmath]a[/inlmath] je
[inlmath]h_{a}=\sqrt{H^2+\left( \frac{h_{1}}{2} \right)^2}=\frac{13}{2}[/inlmath]
Visina bočne strane koja odgovara ivici [inlmath]b[/inlmath] je
[inlmath]h_{b}=\sqrt{H^2+\left( \frac{h_{2}}{2} \right)^2}=\frac{15}{2}[/inlmath]
Kako si i napisala
[inlmath]M=a·h_{a}+b·h_{b}=192[/inlmath]

Hvala