MATEMANIJA

Pozdrav,

Ako se poluprečnik lopte poveća za [inlmath]1\text{ cm}[/inlmath], njena površina se poveća za [inlmath]8\pi\text{ cm}^2[/inlmath]. Pri tome se zapremina lopte (u [inlmath]\text{cm}^3[/inlmath]) poveća za:

Rešenje: [inlmath]\frac{13\pi}{3}[/inlmath]

Ne znam kako bi ovo odradio.

Ma umeš sigurno makar da započneš. Kako glasi formula za površinu lopte čiji je poluprečnik [inlmath]r[/inlmath]? To sigurno znaš. A kako glasi formula za površinu lopte čiji je poluprečnik [inlmath]r+1\text{ cm}[/inlmath]? Po uslovu zadatka, ova druga površina je za [inlmath]8\pi\text{ cm}^2[/inlmath] veća od prve. Samo treba postaviti jednačinu, a to ne bi trebalo da bude problem.

Ne razumem
[dispmath]P=4r^2\pi[/dispmath] Druga formula je [inlmath]8\pi=4r^2\pi[/inlmath] ili [inlmath]8\pi=4(r+1)^2\pi[/inlmath]??

Imam utisak da se nisi ni potrudio da samo malo razmisliš. Naravno da nije ni [inlmath]8\pi=4r^2\pi[/inlmath] ni [inlmath]8\pi=4(r+1)^2\pi[/inlmath], jer nigde nije rečeno da je početna ili krajnja površina lopte jednaka [inlmath]8\pi[/inlmath], već je rečeno da se površina lopte poveća za [inlmath]8\pi[/inlmath].
Dakle, ako je početni poluprečnik lopte [inlmath]r[/inlmath], onda je početna površina lopte tako kako si i napisao, [inlmath]P=4\pi r^2[/inlmath].
A nakon povećanja polupečnika, novi poluprečnik će biti [inlmath]r+1[/inlmath] pa će nova površina biti [inlmath]4\pi(r+1)^2[/inlmath]. Takođe, po uslovu zadatka, ta nova površina će biti [inlmath]P+8\pi[/inlmath]. Ostalo je samo da izjednačiš [inlmath]P+8\pi[/inlmath] i [inlmath]4\pi(r+1)^2[/inlmath] i to će ti biti druga jednačina sistema (prva je, naravno, bila [inlmath]P=4\pi r^2[/inlmath]).

Da u pravu si iz te dve jednačine dobijamo da je [inlmath]r=\frac{1}{2}[/inlmath] pa posle računamo zapreminu sa ovim prečnikom i zapreminu sa prečnikom uvećanim za [inlmath]1\text{ cm}[/inlmath] odnosno [inlmath]r=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}[/inlmath]. Njihova razlika na kraju nam daje konačno rešenje [inlmath]\frac{13\pi}{3}[/inlmath]