MATEMANIJA

Jedan zadatak iz geometrije u ravni, vezan za konstrukciju trougla, ispostavilo se da predstavlja pravi izazov za matematičare (a nisam siguran ni da li je rešiv).
Zadatak glasi:

Konstruisati trouglao [inlmath]ABC[/inlmath] ako su date dve tačke koje predstavljaju središta stranica [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath], i prava na kojoj se nalazi podnožje visine iz temena [inlmath]A[/inlmath].

Trougao ABC je ovim uslovima jedinstveno određen, ali je pitanje kako ga konstruisati (ako je to uopšte moguće).
Inspiraciju sam dobio iz sličnog zadatka koji je bio na nekom takmičenju, gde je jedina razlika ta što visina iz temena [inlmath]A[/inlmath] pripada datoj pravoj, što je mnogo jednostavniji problem od postavljenog.

Očekujem da će neko imati dobru ideju, ako ne i kompletno rešenje ovog po meni stvarno zanimljivog zadatka!

Ne bih rekao da je rešenje jedinstveno. Evo kontraprimer sa analitičkom geometrijom

Uzmi za središte stranice [inlmath]AC[/inlmath] tačku [inlmath]E(1,0)[/inlmath] a za središte stranice [inlmath]BC[/inlmath] tačku [inlmath]F(0,0)[/inlmath]. Za pravu na kojoj se nalazi podnožje visine uzmi pravu [inlmath]x=0[/inlmath]. Sada za svako [inlmath]t > 0[/inlmath], imaš za rešenje pravougli trougao [dispmath]A(2,-t),\quad B(0,-t),\quad C(0,t).[/dispmath]

Tačka [inlmath]F[/inlmath] u ovom primeru pripada pravoj [inlmath]x=0[/inlmath]. Nisam naglasio da date tačke ne pripadaju pravoj.

Neke osnovne činjenice:

Neka su tačke [inlmath]E[/inlmath] i [inlmath]F[/inlmath] središta stranica [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] redom, i [inlmath]p[/inlmath] data prava (kojoj ne pripadaju tačke [inlmath]E[/inlmath] i [inlmath]F[/inlmath]). Činjenica je da je duž [inlmath]EF[/inlmath] srednja linija trougla [inlmath]ABC[/inlmath], te da je onda stranica [inlmath]AB[/inlmath] paralelna sa njom i naravno duplo duža. Tačka [inlmath]G[/inlmath], kao podnožje visine iz temena [inlmath]A[/inlmath] na stranicu [inlmath]BC[/inlmath], nalazi se negde na pravoj [inlmath]p[/inlmath]. Sem toga, tačka [inlmath]G[/inlmath] se nalazi i na kružnici poluprečnika [inlmath]r=EF[/inlmath], sa centrom na sredini stranice [inlmath]AB[/inlmath], s obzirom da je ugao [inlmath]AGB=90^\circ[/inlmath], a takođe i na kružnici poluprečnika [inlmath]r=AE[/inlmath], sa centrom u tački [inlmath]E[/inlmath]...

Inače, da li je rešenje jedinstveno i u nekom opštem slučaju (i da li uopšte postoji za bilo koji raspored datih elemenata) u ovom trenutku mi nije poznato.

Ovako postavljen zadatak ima bezbroj rešenja, jer proizvoljnim izborom tačke [inlmath]G\in p[/inlmath] može se konstruisati traženi trougao.

U pravu si.

Sad mi je i jasno kako konstruisati ovakav trougao pri slobodnom izboru tačke [inlmath]G[/inlmath]. Međutim, pitam se dalje kako bi mogao da se konstruiše trougao ako bi dodatno bila data i dužina simetrale ugla iz temena [inlmath]C[/inlmath]?