MATEMANIJA

Interesuje me da li neko zna kako se dobija relacija koja povezuje radijuse tzv. Sodijevih krugova:
[dispmath]2\left(\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r_4^2}\right)=\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\right)^2[/dispmath] gde su [inlmath]r_1[/inlmath], [inlmath]r_2[/inlmath] i [inlmath]r_3[/inlmath] poluprečnici tri kruga koja se dodiruju spolja, a [inlmath]r_4[/inlmath] poluprečnik kruga koji dodiruje ta tri kruga smešten između njih (unutrašnji Sodijev krug).

Ta relacija je poznata kao Dekartova teorema o krugovima. Jedan elementaran dokaz možeš naći ovde. Takođe važe i neka uopštenja: ovde je prikazan elegantan analitički dokaz za [inlmath]n+2[/inlmath] hipersfera u [inlmath]n[/inlmath] dimenzionom prostoru.

Proučio sam u međuvremenu Sodijeve krugove, kao i konstrukciju istih. Posebno mi je interesantna konstrukcija ne samo Sodijevih krugova, već i kod onih krugova koji su "razmaknuti", i onda između njih, ili oko njih konstrukcija zajedničkog kruga, koji ih dodiruje. Ono što mi je trenutno ostalo nejasno je kako dobiti relaciju koja povezuje poluprečnike tih krugova u slučaju kada se recimo data 3 kruga ne dodiruju, već se nalaze na nekom rastojanju jedan od drugog (eksterni položaj krugova), a četvrti krug se nalazi između njih "upisan", ili opet "opisan" oko njih...