Jedna kateta pravouglog trougla je [inlmath]a=2\sqrt2[/inlmath], a dužina simetrale pravog ugla je [inlmath]s=3[/inlmath]. Odrediti površinu trougla.

Zadatak iz zbirke za FTN 2022.

Neka ideja kako da počnem ovaj zadatak, hvala unapred.

Neka je [inlmath]ABC[/inlmath] pravougli trougao ([inlmath]∡C=90°[/inlmath]) i simetrala iz temena [inlmath]C[/inlmath] seče hipotenuzu [inlmath]AB[/inlmath] u tački [inlmath]D[/inlmath]. Kosinusnom teoremom možeš izračunati duž [inlmath]BD[/inlmath]. Primenom sinusne teoreme možeš izračunati [inlmath]\sin β[/inlmath], pa na osnovu toga i [inlmath]\text {tg}\space β[/inlmath]…. Mislim da se na kraju dobija da je [inlmath]P=12[/inlmath].

Jeste, [inlmath]P=12[/inlmath]. Može i preko čiste geometrije, pomoću sličnosti trouglova. Pošto je [inlmath]CNDM[/inlmath] kvadrat čija dijagonala nam je poznata,


samim tim znamo i [inlmath]CM[/inlmath] i [inlmath]DM[/inlmath] kao stranice tog kvadrata. Odredimo površinu trougla [inlmath]\triangle ADM[/inlmath] (jednu njegovu katetu [inlmath]DM[/inlmath] dakle znamo, a drugu katetu [inlmath]AM[/inlmath] dobijemo kao razliku [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]CM[/inlmath]). Zatim uočimo sličnost trougla [inlmath]\triangle ADM[/inlmath] i traženog trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]. Odredimo u kom odnosu stoje odgovarajuće stranice ta dva trougla, a odatle i u kom odnosu stoje njihove površine...

@djoledj04, na ovom forumu je obavezna upotreba Latexa (tačka 13. Pravilnika), a za njega postoji na forumu i odgovarajuće uputstvo.