MATEMANIJA

Pozdrav!
Moze li pomoc oko sledeceg zadatka: U kupu poluprecnika osnove [inlmath]2\text{ cm}[/inlmath] upisana je lopta poluprecnika [inlmath]1\text{ cm}[/inlmath]. Kolika je zapremina te kupe?

Resenje je [inlmath]\frac{32\pi}{9\text{ cm}^3}[/inlmath], ali mi nikako ne ispada to resenje, pokusala sam da nadjem visinu kupe preko slicnosti pravouglih trouglova, i visina mi je ispala [inlmath]3\text{ cm}[/inlmath], a zapremina [inlmath]4\pi\text{ cm}^3[/inlmath]. Hvala unapred.

Probaj preko trigonometrijskih funkcija (mada je to isto kao sličnost pravouglih trouglova):
[dispmath]\sin \varphi = \frac{OF}{CO}=\frac{BD}{BC}[/dispmath]

Ovaj zadatak možeš rešiti i preko površine trougla [inlmath]ABC[/inlmath]. Površina trougla se može izraziti kao proizvod poluprečnika upisane kružnice i poluobima:[dispmath]P_{ABC}=R \cdot \frac{O_{ABC}}{2}=\frac{AB \cdot CD}{2}[/dispmath]
U oba pristupa je [dispmath]BC=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{H^2+r^2}[/dispmath]

Predlažem još jedan način, koristeći sliku koju je postavio Fare. Tačka [inlmath]O[/inlmath] (centar upisane kružnice) je presek simetrala unutrašnjih uglova. Prema tome duž [inlmath]OB[/inlmath] je simetrala ugla [inlmath]\beta[/inlmath]. Pomoću pravouglog trougla [inlmath]\triangle BOD[/inlmath] izračunamo [inlmath]\tan\frac{\beta}{2}[/inlmath], a onda i [inlmath]\tan\beta[/inlmath] (pomoću formula za dvostruki ugao). Visinu [inlmath]H[/inlmath] izračunamo pomoću pravouglog trougla [inlmath]\triangle BCD[/inlmath].