MATEMANIJA

Zadatak:
Ako je zapremina kupe [inlmath]\sqrt5[/inlmath] puta veća od površine lopte upisane u tu kupu,
odnos površine kupe i lopte je:

Rešenje: [inlmath]\sqrt5:1[/inlmath]

Pokušao sam da rešim primenom sličnosti trouglova ali kako god da pokušam na kraju mi uvek nešto fali da dođem do rešenja, uglavnom ostane previše nepoznatih i ne uspem da svedem izraz do tačnog rešenja.
od [inlmath]V_K=P_L\cdot\sqrt5[/inlmath] dođem do
[dispmath]r_k^2=\frac{12\cdot r_L^2\cdot\sqrt5}{H}[/dispmath] I to kasnije ubacim kao površinu baze kupe ali kako god pokušam preko sličnosti ne mogu da se otarasim [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] u odnosu površina.

Prvi mi je post pa se izvinjavam na svim greškama i unapred vam hvala na pomoći.

Zadatak nije dobro formulisan. Treba odrediti "odnos površine kupe i lopte" a to je, čini mi se, nedorečeno. Ako se traži "odnos površina kupe i lopte" to je onda druga priča. Ali ni u tom slučaju zadatak nije moguće rešiti, nema dovoljno podataka (ako bi recimo, znali da je poluprečnik lopte dužine [inlmath]3[/inlmath], onda bi traženi odnos bio količnik koji si naveo kao rešenje).

U pravu ste, loše sam napisao, izvinjavam se.
Kao što ste pretpostavili traži se odnos površina kupe i lopte, ali tu je kraj tekstu zadatka.
Jel ste sigurni da zadatak nije rešiv? Malo me nervira što posle toliko sati mučenja ispada da je bilo za džabe

Pozdrav, dobro nam došao.

Da li zaista zadatak glasi da je zapremina kupe jednaka površini lopte? Zapremina i površina su dve različite stvari. Moguće je da budu brojno jednake, ali to mora da se naglasi u zadatku.

https://prnt.sc/uOAawEdimrpn
Evo slika ako pomaže.

Obrazložiću to što sam naveo u prethodnom postu. Naravno, slažem se sa konstatacijom miletrans-a, pa neka je broj kojim je izražena zapremina kupe [inlmath]\sqrt 5[/inlmath] puta veći od broja koji izražava površinu lopte upisane u tu kupu, odnosno [dispmath]\sqrt 5 =\frac{V_K}{P_L}.[/dispmath] Pošto treba da odredimo odnos površina kupe i lopte, taj nepoznati količnik obeležimo sa [inlmath]x[/inlmath] pa je[dispmath]x=\frac{P_K}{P_L}.[/dispmath] Ako drugu jednakost podelimo prvom, dobijamo jednakost iz koje sledi [dispmath]x=\frac{P_K}{V_K} \sqrt 5=\frac{R^2\pi+sR\pi}{\frac{1}{3}R^2\pi H} \sqrt 5= \frac{R+s}{RH}3\sqrt 5[/dispmath] gde su [inlmath]R[/inlmath], [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath] redom, poluprečnik osnove, izvodnica i visina kupe. A razlomak [inlmath]\frac{R+s}{RH}[/inlmath] nije konstantan, menja se u zavisnosti od parametara kupe (Izračunaj vrednost razlomka za kupu sa poluprečnikom osnove [inlmath]3[/inlmath] i izvodnicom [inlmath]5[/inlmath], a onda za kupu sa poluprečnikom [inlmath]3[/inlmath] i izvodnicom [inlmath]6[/inlmath]... Dobićeš različite vrednosti). Prema tome traženi količnik [inlmath]x[/inlmath] nije jednoznačno određen. Prava kupa je određena sa dva parametra (treći određujemo pomoću Pitagorine teoreme ) pa je potreban još jedan "dobar" podatak o kupi, da bi mogli ovaj razlomak svesti na konstantu.
Da li navedeni razlomak možemo "pojednostaviti"?
Neka je [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik lopte. Skiciraj presek kupe i lopte sa ravni koja sadrži visinu kupe. Presek kupe je jednakokraki trougao ( kraci su izvodnice kupe a osnovica prečnik baze). Presek lopte je krug, sa poluprečnokom jednakim sa poluprečnokom lopte, koji je upisan u taj jednakokraki trougao. Površina tog trougla je ( "osnovica puta visina, podeljeno sa dva") [dispmath]P=\frac{1}{2}\cdot2R\cdot H=RH[/dispmath] Ako površinu tog trougla računamo pomoću formule "poluobim puta poluprečnik upisane kružnice", biće [dispmath]P=\frac{2R+s+s}{2}r=(R+s)r[/dispmath] Te površine su jednake pa je [dispmath]RH=(R+s)r\iff \frac{1}{r}=\frac{R+s}{RH}[/dispmath] Prema tome traženi količnik možemo zapisati i ovako[dispmath]x=\frac{3\sqrt 5}{r}.[/dispmath]
P.S.
Nisi napisao odakle je zadatak ( pravilo 22 Pravilnika foruma ).

Izvinjavam se zbog prekršaja.
Zadatak je iz zbirke za mašinski fakultet 2015 godina.
Razredna mi je poslala ovu verziju i tek sada vidim da je malo zastarela .
Veoma moguće da je greška u tekstu zadatka, dešavalo se da su rešenja netačna već par puta čini mi se, možda se i ovde provukla samo greška, šta znam.
U svakom slučaju hvala vam puno na pomoći.